Les questions sur les noeuds proviennent de problèmes ardus d'un domaine appelé topologie algébrique. On peut bien entendu essayer directement sur ses doigts (ou le faire avec les bras d'un ou plusieurs partenaires). C'est raisonnablement facile avec deux doigts, c'est nettement plus ardu avec trois. Le mieux est ici de modéliser les actions : on note A le fait de tourner autour du premier doigt dans le sens des aiguilles d'une montre et a le fait de tourner autour du même premier doigt mais dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On fait de même avec le second doigt en notant B et b le fait de tourner dans le sens des aiguilles d'une montre, ou en sens inverse, autour du second doigt. De même avec C et c pour le troisième doigt.
Le fait de pouvoir tirer sur la corde et libérer les doigts correspond à un noeud obtenu par juxtaposition de tours dans un sens puis dans l'autre. Par exemple le noeud AaBb est un faux noeud : il correspond à poser une boucle de corde sur le dessus des deux premiers doigts ! Le problème peut donc s'exprimer d'une autre façon : comment écrire un mot avec des lettres majuscules et minuscules de sorte que : d'une part ce n'est pas un faux noeud, i.e. en supprimant les couples de lettres tels que Aa, il reste encore des lettres dans le mot ; d'autre part en enlevant un doigt, i.e. en effaçant toutes les lettres identiques (que ce soit majuscule ou minuscule) à une lettre choisie au hasard, le mot devient un faux noeud ?
Pour deux doigts, la réponse est aisée : il suffit de considérer ABab. En effet en effaçant A et a, on obtient Bb, un faux noeud, et pareillement pour le second doigt. La configuration correspond à faire passer une boucle autour du second doigt et les deux brins au-dessus du premier doigt (ABa), puis à faire repasser le brin du dessous en dessous du premier doigt et au-dessus du second doigt. On obtient une sorte de croix entre les doigts.
Pour trois doigts, il faut réfléchir un peu plus. Pour cela, notons [A,B] le noeud ABab. Plus généralement si X est un noeud quelconque, notons x le noeud inverse obtenu en renversant le mot que désigne X et en changeant minuscules en majuscules et réciproquement. Par exemple, si X=[A,B]=ABab, alors x=BAba, c'est-à-dire x=[B,A]. Si maintenant X et Y sont deux noeuds, notons [X,Y] le noeud XYxy. Remarquons que si X ou Y est un faux noeud, alors [X,Y] aussi. En effet si c'est X qui est un faux noeud, alors [X,Y]=Yy en est un aussi.
Nous sommes prêts à montrer que [[A,B],C] est le noeud que nous cherchons ! Primo, ce noeud est un vrai noeud. En effet, on a [[A,B],C]=[A,B]C[B,A]c= ABabCBAbac. Secundo, si on efface C, alors il revient au même de dire que C est un faux noeud et donc la propriété de propagation des faux noeuds montre que [[A,B],C] est un faux noeud. Si maintenant, on efface A ou B, alors d'après ce que nous avons dit pour deux doigts, le noeud [A,B] est un faux noeud, et donc, encore par propagation, il en est de même pour [[A,B],C].
Avec ce qui vient d'être dit, vous devez pouvoir construire un noeud avec autant de doigts qu'on veut qui soit un vrai noeud, mais qui devienne un faux noeud dès qu'on libère un doigt ... Plus fort que Houdini ?! Par exemple, avec quatre doigts, on construit : [[[A,B],C],D], c'est-à-dire [[A,B],C]D[C,[A,B]]d ou encore [A,B]C[B,A]cDC[A,B]c[B,A]d, i.e. ABabCBAbacDCABabcBAbad, un mot très proche d'abracadabra !