Les problèmes évoqués ici sont ceux du traitement de l'information du point de vue des mathématiciens : quelle information peut-on transmettre avec le moins de communication possible ? peut-on la coder de façon à la rendre uniquement intelligible par le destinaire ?
En ce qui concerne le tour de magie, voyons comment l'analyser. On prend cinq cartes au hasard, il y a donc C(52,5) possibilités, i.e. 52.51.50.49.48/120. On aimerait qu'en choisissant l'une d'entre elles, on puisse la faire deviner en montrant les autres. La première subtilité vient du fait que montrer les cartes ne permet pas grand chose (si l'on exclut toute prestidigitation ou code extérieur aux cartes) mis à part de les ordonner. Qu'elles soient présentées en éventail ou montrées une à une, les quatre cartes révélées au medium sont ordonnées. Il y a donc A(52,4) situations possible a priori, soit 52.51.50.49. Il y a donc plus de situations possibles avec les quatre cartes ordonnées que d'ensembles de cinq cartes, ce qui laisse présager que ce tour est possible, mathématiquement. En fait l'argument donné montre que le tour est impossible si on joue avec cent vingt cinq cartes ou plus.
Le protocole que nous allons décrire ne fonctionne que pour un jeu de cinquante-deux cartes, mais nous invitons à réfléchir à une adaptation à un jeu de tarot par exemple !
Si on prend quatre cartes au hasard, sans réfléchir, on peut uniquement jouer sur leur ordre et donc coder 4! situations, i.e. vingt-quatre cartes. Or, une fois enlevées quatre cartes, il reste quarante-huit cartes dans le jeu et donc cet approche naïve échoue par un facteur 2. Mais on a le choix de la carte à faire deviner et donc on a, a priori, cinq situations différentes. Cela étant posé si l'ensemble de vingt-quatre cartes codé par quatre cartes est indépendant des vingt-quatre cartes présentées alors on est face au même problème ou presque : rien ne garantit que parmi les cinq cartes tirées l'une d'entre elles appartient au sous-ensemble de vingt-quatre cartes choisi pour le protocole. Il faut donc que chaque ensemble de quatre cartes code vingt-quatre cartes différentes.
Une façon de faire (non optimale cependant) est de déterminer un sous-ensemble du jeu à partir d'une des quatre cartes et de coder le sous-ensemble choisi à partir des trois autres cartes. Ici encore, pour ces trois cartes, on n'a que l'ordre pour les distinguer (puisqu'elles sont arbitraires) et donc on peut coder 3! situations différentes, i.e. six cartes. On en est donc au point suivant : on va choisir deux cartes et le medium devra pouvoir, en connaissant l'une des deux et un nombre entre 1 et 6, deviner l'autre.
Beaucoup de candidats ont remarqué lors des démonstrations du tour, que la seconde carte était de la même couleur que la carte à deviner. Mais presque tous se sont arrêtés là. Si on se contente de cette information, on imagine le tour ainsi : parmi les cinq cartes tirées au hasard, au moins deux sont de la même couleur. Prenons l'une d'entre elle et plaçons-la en seconde position. Il reste donc douze cartes de la même couleur que celle-ci et il faut indiquer au medium, par un nombre entre 1 et 6, laquelle est la seconde carte. On voit que, sans choix, il manque un facteur 2 : nous n'avons pas progressé par rapport à tout à l'heure !
Reprenons donc l'analyse : on aimerait pouvoir, étant donné deux cartes de la même couleur et un nombre de 1 à 6, faire deviner une des cartes à partir de l'autre. C'est possible, à condition de choisir celle des deux cartes que l'on veut faire deviner ! En effet, si on énonce la ronde des cartes, dans l'ordre habituel, mais en le faisant en boucle, on a affaire à treize cartes. Dans cette ronde, si on prend l'une des deux cartes, la seconde est soit dans les six suivantes que l'on récite, soit dans les six encore suivantes. Mais alors c'est la première de nos cartes qui est dans les six qui suivent la seconde de nos cartes ! On peut donc toujours choisir l'une des deux cartes de façon à ce que l'autre soit parmi les six cartes qui suivent cette carte dans la ronde du 2 à l'As. On montre cette carte, on code le nombre entre 1 et 6 qu'il faut pour obtenir la seconde carte à partir de la première carte ... et le tour est joué !
Prenons des exemples. Avec 3 et 7, on choisit de montrer le 3 et de coder le nombre 4. Avec 5 et Valet, on choisit de montrer le 5 et de coder 6. En effet six cartes après le 5 se trouve le Valet : 6-7-8-9-10-Valet. Si maintenant on a 3 et Dame, on montre la Dame et on code le nombre 4, car après la Dame, la ronde des cartes est : Roi-As-2-3.
Il nous reste à expliquer comment coder un nombre entre 1 et 6. Pour cela, on va utiliser un ordre sur les cartes. On convient que la plus forte est l'As de Pique, puis le Roi de Pique, la Dame de Pique etc. jusqu'au 2 de Pique. Ensuite vient l'As de Coeur, puis le Roi de Coeur etc. jusqu'au 2 de Coeur. Viennent ensuite les Carreaux et enfin les Trèfles. L'ordre est donc un ordre lexicographique : en premier lieu on tient compte de la couleur dans l'ordre du bridge et en second lieu on tient compte de la hauteur de la carte pour départager les cartes de même couleur. Une fois ceci posé, on a six façons de poser les cartes, correspondant à six ordres différents pour les nombres de 1 à 3 : 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2 et 3-2-1. On pourrait convenir de leur associer d'une façon quelconque (mais définie à l'avance entre le medium et son assistant) un nombre entre 1 et 6. Celle que nous avons choisie est particulièrement simple à décoder et c'est important pour que le tour fonctionne bien. On repère donc la plus forte carte et on compte autant de points que sa place (1, 2 ou 3) parmi les cartes qui restent après avoir éliminé la carte de base. Ensuite on porte notre attention sur les deux autres cartes. Si elles sont dans l'ordre naturel, on change rien au nombre choisi (1, 2 ou 3), sinon on lui rajoute trois points, de sorte à obtenir 4, 5 ou 6.
Par exemple, As de Pique, 2 de Trèfle, 3 de Carreau code le nombre 4 : un point pour l'As de Pique en première position et trois de plus parce que les deux autres cartes sont en ordre inverse. La configuration 3 de Carreau, 2 de Trèfle, As de Pique aurait codé le nombre 3.
Il faut maintenant intercaler en seconde position la carte de base. Par exemple, si l'assistant montre les cartes (dans cet ordre) As de Pique, Dame de Pique, 2 de Trèfle, 3 de Carreau, alors on part de la Dame de Pique et on lui rajoute quatre cartes : Roi-As-2-3, ce qui nous conduit au 3 de Pique.
Pour terminer, un exemple de travail pour l'assistant (car c'est bien sur lui que repose la partie la plus lourde du tour !). Le public tire les cartes : 2 de Carreau, 4 de Coeur, 10 de Coeur, Dame de Coeur et 5 de Pique. On a ici le choix : on prendra du Coeur, mais on peut faire deviner le 10 à partir du 4, la Dame à partir du 10 ou le 4 à partir de la Dame. Prenons ce dernier exemple qui est le plus compliqué. La Dame correspond au numéro 12. Le 4 est aussi le 17, puisqu'on a treize cartes. Ainsi il faut ajouter 5 à la Dame pour obtenir le 4 : Roi-As-2-3-4. On doit coder le nombre 5, c'est-à-dire 2+3. On place donc la carte la plus forte, le 5 de Pique, en seconde position (sans tenir compte de la Dame de Coeur qui elle sera réellement en seconde position). Les deux autres cartes sont inversées, i.e. le 2 de Carreau sera avant le 10 de Coeur. On montre donc : 2 de Carreau, Dame de Coeur, 5 de Pique, 10 de Coeur. Le décodage est immédiat : on part de la Dame de Coeur, on rajoute 2, i.e. on passe à l'As de Coeur, en repérant le 5 de Pique, puis on rajoute 3, i.e. on passe au 4 de Coeur, en constatant que les deux autres cartes sont inversées.