Le problème, dans toute sa généralité est assez ardu. Heureusement, dans les cas proposés, on peut s'en sortir sans théorie ! L'idée pour étudier ces pavages est de voir le réseau triangulaire, et tout particulièment les losanges formés de deux triangles, comme la projection d'une figure de l'espace formée de cubes : une figure est pavable si et seulement si elle est la projection d'une figure formée de cubes. Mais cette dernière condition n'est pas facile à étudier ! Cela a été fait par le mathématicien américain John Conway.
Quand on met un losange sur le centre de la première figure, on recouvre un des triangles extrémaux et on sépare les deux autres. Cette figure est donc impossible à paver avec des losanges.
La seconde figure se pave en dessinant la projection d'un cube : on obtient
trois losanges.
Considérons le triangle en haut à droite. Il n'appartient
qu'à un seul losange et cela force le début du pavage. Le haut
de la figure ne peut donc être pavé que d'une seule façon.
Il en est de même pour le côté gauche. On voit alors que le
triangle le plus à gauche de la ligne du bas ne peut pas être
recouvert par un losange. La troisième figure ne peut donc pas être
pavée par des losanges.
