Semaine 3

Semaine 3

  • (Abdelhaq Abdelqari - 3.1) - Résoudre $\displaystyle\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^n=\frac{1+ia}{1-ia}$, pour $a\in\Cd$ et $n\in\Nd^*$ fixés.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 3.2) - Soit $\theta$ dans $]0;\pi[$ et $n$ dans $\Nd^*$. Résoudre l'équation $\displaystyle\left(\frac{z-i}{z+i}\right)^n+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^n=2\cos(\theta)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 3.3) - Soit $z=e^{2i\pi/7}$, $u=z+z^2+z^4$ et $v=z^3+z^5+z^6$. Montrer que $u$ et $v$ sont conjugués, et que $Im(u)>0$. Calculer $u+v$ et $uv$.
  • (Anthony Maxilaris - 3.1) - Montrer $\displaystyle Arg\left(\frac{c-b}{c-a}\right)=\frac12 Arg\left(\frac{b}a\right)\;[\pi]$ et interprétation géométrique.
  • (Anthony Maxilaris - 3.2) - Définition de $\cos z$ et $\sin z$ (avec $\exp(iz)$ et $\exp(-iz)$). Montrer que $|\sin z|^2=\ldots$
  • (Anthony Maxilaris - 3.3) - Montrer $|a+b|+|a-b|\geq|a|+|b|$. Interprétation géométrique, cas d'égalité.
  • (Antoine Pichoff - 3.1.1) - Résoudre dans $\Cd$, l'équation suivante : $z^2-(1-2i)z-2i=0$.
  • (Antoine Pichoff - 3.1.2) - Soit $\mathcal{P}=\{z\in\Cd$ tels que $Im(z)>0\}$, le demi-plan de Poincaré et $\mathcal{D}=\{z\in\Cd$ tels que $|z|<1\}$, le disque unité. Montrer que $z\mapsto \dfrac{z-i}{z+i}$ est une application bijective de $\mathcal{P}$ sur $\mathcal{D}$. Donner une interprétation géométrique de cette transformation.
  • (Antoine Pichoff - 3.2) - Soit $\epsilon$, une racine $n$-ième de l'unité, calculer : $S=1+2\epsilon+3\epsilon^2+\dots +n\epsilon^{n-1}$.
  • (Antoine Pichoff - 3.3.1) - Trouver la partie réelle et imaginaire de $(az^2+bz)(bz^2+az)$ avec $z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Calculer le module et l'argument de $(1+cos\theta+i\sin\theta)^n$, en fonction de $n$.
  • (Antoine Pichoff - 3.3.2) - On considère l'hyperbole d'équation $x^2-y^2=1$. Montrer qu'il est possible de paramétrer rationnellement la branche de droite en considérer la famille de droite passant par le point $(-1,0)$ et de pente $t$. Quelle relation avec la paramétrisation du cercle ? Cela vous rappelle-t-il quelque chose qui lie $\cos$ et $\cosh$ ?
  • (Antoine Pichoff - 3.4) - On note $\Ud=\{z\in\Cd$ tels que $|z|=1\}$. Montrer que pour tout $z\in\Ud$, $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes tels que $\forall z\in\Ud$, $P(z)=Q(z)$. Montrer que $P=Q$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(u,v)$ pour que $\dfrac{(z-u)(1-zv)}{z}$ reste réel lorsque $z$ parcourt $\Ud$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(u,v)$ pour que $(z-u)(z-v)$ reste de module $1$ lorsque $z$ parcourt $\Ud$.
  • (Antoine Pichoff - 3.5) - On considère l'équation $x^3+ax^2+bx+c=0$ dont on cherche les racines. Montrer qu'en faisant un changement de variable du type $y=x-\alpha$ il est possible de transformer l'équation en celle d'une équation du type $x^3-3px-2q=0$ $(*)$. Méthode de Cardan (Tartaglia $\dots$) : En supposant que $x=s+t$, montrer que $x$ est solution de $(*)$ si $st=p$ et $s^3+t^3=2q$. En déduire que $s^3$ est solution d'une équation de degré $2$. De même pour $t^3$. En déduire toutes les solutions de $(*)$. Méthode de Viète : Linéariser $\cos(3\theta)$. Faire le changement de variable ($x\rightarrow \theta$) : $x=2\sqrt{p}\cos(\theta)$ dans $(*)$. En déduire (dans le cas $p^3>q^2$) les solutions $x$ de $(*)$, sous la forme de $\cos$ d'un angle particulier. Donner le racines de $x^3+3x^2+2=0$.
  • (Antoine Pichoff - 3.6) - Montrer que $\forall z,z'\in\Cd$, $|zz'|=|z|\times|z'|$. Que devient cette relation, si l'on note $z=a+ib$ et $z'=c+id$, des entiers de Gauss ? (c'est-à-dire que $a,b,c,d\in\Zd$). Montrer que $5$, $13$ et $17$ peuvent s'écrire chacun comme (au moins) une somme de deux carrés d'entiers. En déduire que $1105$ peut s'écrire comme (au moins) une somme de deux carrés. Montrer qu'il est possible de faire huit décompositions de cette forme (différentes, dont les nombres sont positifs). En déduire que le quart de cercle ($x>0,y>0$) de centre $O$ et de rayon $R=\sqrt{1105}$ passe par $8$ entiers de Gauss dont on donnera les coordonnées. On note $A(31+12i)$, $B(24+23i)$, $B'(24+12i)$ et $A'(-31+12i)$. Montrer que $\widehat{AOB}=2\widehat{AA'B}=2\widehat{B'A'B}=\arctan\dfrac{1}{5}$. En généralisant l'étude précédente, en déduire que \[\dfrac{\pi}{4}=\arctan\dfrac{4}{33}+2\arctan\dfrac{1}{13}+2\arctan\dfrac{1}{21}+2\arctan\dfrac{1}{5}+\arctan\dfrac{1}{47}\;.\] Que penser et que faire de cette formule ?
  • (Bertrand des Abbayes - 3.1) - Soit $z$ un complexe tel que $|z-\frac12|\leq\frac12$. Montrer $|z(1-z)-\frac12|\leq\frac12$.
  • (Bertrand des Abbayes - 3.2) - Soit $z=e^{2i\pi/7}$, $A=z+z^2+z^4$ et $B=z^3+z^5+z^6$. Calculer $A$ et $B$.
  • (Bertrand des Abbayes - 3.3) - Soit $n\in\Nd^*$ et $z\in\Cd$ tel que $(2z)^n-(z-1)^n=0$. Montrer $|3z+1|=2$.
  • (Didier Robbes - 3.1) - Pour quels entiers $n$ existe-t-il un $\lambda$ dans $\Ud_n$ tel que $\lambda+\lambda^2+\cdots+\lambda^n=0$ ?
  • (Didier Robbes - 3.2) - On attache une chèvre au bord d'un champ circulaire, pour quelle longueur de corde peut-elle brouter la moitié du champ ?
  • (Didier Robbes - 3.3) - Montrer que le périmètre d'un triangle complètement inclus dans un polygone est inférieur au périmètre de ce polygone.
  • (Françoise Gillardeau - 3.1) - Résoudre dans $\Cd$, $(z-1)^6+(z-!1)^3+1=0$.
  • (Françoise Gillardeau - 3.2) - Soit $a$ et $b$ deux complexes de module 1 avec $ab\neq1$. Calculer $\displaystyle\frac{a+b}{1-ab}$ et prouver que c'est un imaginaire pur.
  • (Françoise Gillardeau - 3.3) - Soit $a$ dans $[0;2\pi[$ et $n$ dans $\Nd$. Module et argument de $(1+ie^{ia})^n$ ? Discuter.
  • (François Sauvageot - 3.1) - Trouver le maximum, pour $|z|\leq r$, de $|az+b|$.
  • (François Sauvageot - 3.2) - Idem (Abdelhaq Abdelqari - 3.1)
  • (François Sauvageot - 3.3) - Soit $z=e^{2i\pi/7}$, $u=z+z^2+z^4$ et $v=z^3+z^5+z^6$. Montrer que $u$ et $v$ sont conjugués, et que $Im(u)>0$. Trouver une équation du second degré satisfaite par $u$ et $v$ et calculer $u$.
  • (Jacques Paris - 3.1) - Pour $\theta$ réel, donner le module et l'argument de $e^{i\theta}+1$ et de $e^{i\theta}-1$.
  • (Jacques Paris - 3.2.1) - Soit $S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$ avec $\omega$ une racine n-ième de l'unité. En calculant $(1-\omega)S$, déterminer la valeur de $S$.
  • (Jacques Paris - 3.2.2) - Simplifier $j/(j^2+1)$.
  • (Jacques Paris - 3.3.1) - Racines carrées complexes de $5-12i$.
  • (Jacques Paris - 3.3.2) - Montrer que $z^3-(1+2i)z^2+3(1+i)z-10(1+i)=0$ a une solution imaginaire pure.
  • (Jean-Louis Liters - 3.1) - Idem (Anthony Maxilaris - 3.3)
  • (Jean-Louis Liters - 3.2) - Racines carrées complexes de $z$ à partir $(z+|z|)^2$.
  • (Jean-Louis Liters - 3.3) - Idem (François Sauvageot - 3.1)
  • (Jean-Michel Rey - 3.1) - Somme des racines $n$-ièmes de $u$, pour $u\neq0$.
  • (Jean-Michel Rey - 3.2) - Pour $u$ de module 1, résoudre $z-1=u\bar{z}$ puis $(z-1)^n-\bar{z}^n=0$.
  • (Jean-Michel Rey - 3.3.1) - Résoudre $|z+4-3i|=|z|+5$.
  • (Jean-Michel Rey - 3.3,2) - Soit $z=a+ib$. Montrer $|z|^2=a^2+b^2\Leftrightarrow z=0$ ou $a$ et $b$ réels.
  • (Mohammed Laadnani - 3.1) - Idem (Anthony Maxilaris - 3.3)
  • (Mohammed Laadnani - 3.2) - Développer $\cos(5x)$. En déduire $\cos(\dfrac{\pi}{10})$.
  • (Mohammed Laadnani - 3.3) - Trouver $z\in\Cd$ tel que: $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=2$.
  • (Philippe Skler 3.1) - Résoudre $\left( 3z^{2}+z+1\right) ^{2}+\left( z^{2}+2z+2\right) ^{2}=0$.
  • (Philippe Skler 3.2) - Résoudre $z^{2n}-2\cos(\theta)z^{n}+1=0$.
  • (Philippe Skler 3.3) - Pour $\theta \not\equiv0[2\pi ]$ calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sin (a+k\theta )$.
  • (Philippe Skler 3.4) - Soient \((a,b)\in\Ud^{2}\) distincts et \(z\in\Cd\). On note $u =\displaystyle \frac{z+ab\overline{z}-a-b}{a-b}$. Montrer que $u^2\in\Rd$.
  • (Véronique Bluteau - 3.1) - Calculer $\int_0^{\pi/8}\cos^4(2x)\sin^2(4x)dx$.
  • (Véronique Bluteau - 3.2) - Soit $(E)$ l'équation : $(1+iz)^n=(1-iz)^n$, avec $n$ entier supérieur à 2. Démontrer aue si $z$ est solution de $(E)$, alors $z$ est réel. En exprimant $z$ sous la forme $\tan(\alpha)$, $\alpha\in]-\pi/2;\pi/2[$, résoudre $(E)$.
  • (Véronique Bluteau - 3.3) - Soit $\alpha$ dans $[0;2\pi[$, $n$ dans $\Nd$ et $z=(1-\sin(\alpha)+i\cos(\alpha))^n$. Déterminer le module et l'argument de $z$ quand il existe.