Semaine 4

Semaine 4

  • (Abdelhaq Abdelqari - 4.1) - On considère trois points deux à deux distincts A, B et C d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en A si et seulement si $(c-a)^{2}+(b-a)^{2}=0$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle ABC soit équilatéral.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 4.2) - Déterminer l'ensemble des points M du plan complexe, d'affixe $z$ tels que les points A, M et M' soient alignés, A étant le point d'affixe 1 et M' celui d'affixe $1+z^{2}$ .
  • (Abdelhaq Abdelqari - 4.3) - (Théorème de Napoléon) Soit ABC un triangle quelconque. Les points $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ extérieurs au triangle sont tels que $ABM_1$, $BCM_2$, $ACM_3$ sont équilatéraux. On désigne par $\Omega_{1}$, $\Omega_{2}$ et $\Omega_{3}$ les centres de gravité de ces trois triangles. Montrer que $\Omega_{1}\Omega_{2}\Omega_{3}$ est équilatéral et possède le même centre de gravité que le triangle ABC.
  • (Anthony Maxilaris - 4.1) - Soit $u=e^{2i\pi/n}$. Montrer $\sum_{k=1}^n(z+u^k)^n=n(z^n+1)$.
  • (Anthony Maxilaris - 4.2) - Soit $\omega$ une racine de l'unité. Calculs de $\sum_{k=1}^nk\omega^{k-1}$ et $\sum_{k=1}^n{n\choose k}\omega^k$ (pour $\omega=e^{2i\pi/n}$).
  • (Anthony Maxilaris - 4.3) - Résoudre dans $\Cd$, $\displaystyle\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^n+\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^n=2\cos(\alpha)$ pour $\alpha$ réel et $n$ entier naturel non nul.
  • (Anthony Maxilaris - 4.4) - Calcul des sommes $\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos(a+kb)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}\sin(a+kb)$.
  • (Antoine Pichoff - 4.1.1) - Soient $z,z'\in\Cd$. Montrer l'égalité suivante (identité de la médiane) : $|z+z'|^2+|z-z'|^2=2(|z|^2+|z'|^2)$. Soit $u$ tel que $u^2=zz'$. Montrer $|z|+|z'|=\left|u+\dfrac{z+z'}{2}\right|+\left|u-\dfrac{z+z'}{2}\right|$. Pouvez-vous interpréter géométriquement ces résultats ?
  • (Antoine Pichoff - 4.1.2) - Résoudre dans $\Cd$ le système suivant : \[\left\{\begin{array}{r c l} z_1+z_2+z_3&=&1\\z_1\cdot z_2\cdot z_3&=&1\\|z_1|=|z_2|&=&|z_3|\end{array}\right.\]
  • (Antoine Pichoff - 4.2.1) - Trouver les nombres complexes $z$ tels que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.
  • (Antoine Pichoff - 4.2.2) - Soit $n\in\Nd$ et $z=\exp(i\pi/n)$. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1} z^k$. Montrer $\dfrac{2}{1-z}=1+i\dfrac{1}{\tan(\pi/2n)}$. En déduire que pour tout $n\in\Nd$, $n\geq2$, $\sum_{k=0}^{n} \sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{1}{\tan(\pi/2n)}$.
  • (Antoine Pichoff - 4.3.1) - Soit $a$ un nombre complexe avec $|a|=1$. On note $z_1$, $z_2$ ... $z_n$, les racines de l'équation $z^n=a$. Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont $(1+z_1)^n$, $(1+z_2)^n$ ... $(1+z_n)^n$ sont alignés.
  • (Antoine Pichoff - 4.3.2) - Redonner la formule du binôme de Newton. En déduire que $2^m\sin(\frac{m\pi}{3})$ peut s'exprimer comme une certaine somme.
  • (Antoine Pichoff - 4.4) - On note $\theta\in\Rd$, un angle. En utilisant la formule d'Euler et le binôme de Newton, montrer que $\dfrac{e^{in\theta}}{\sin^n\theta}$ peut s'écrire comme une somme de puissance de $\cot$. En déduire $\dfrac{\sin(2m+1\theta)}{\sin^{2m+1}\theta}=P_m(\cot^2\theta)$ où $P_m={2m+1\choose1}x^m-{2m+1\choose3}x^{m-1}+\dots +(-1)^m$. Quelles sont les racines de $P_m$ ? En déduire $\sum_{k=1}^m\cot^2\dfrac{k\pi}{2m+1}=\dfrac{m(2m-1)}{3}$. Montrer pour tout $x]0,\frac{\pi}{2}[$, $\cot^2 (x)\lt \frac{1}{x^2}\lt 1+\cot^2(x)$. En déduire $\dfrac{m(2m-1)}{3}\lt \dfrac{(2m+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^m\dfrac{1}{k^2}\lt m+\dfrac{m(2m-1)}{3}$. En déduire la valeur de $\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}$.
  • (Antoine Pichoff - 4.5.1) - On considère l'hyperbole d'équation $x^2-y^2=1$. Montrer qu'il est possible de paramétrer rationnellement la branche de droite en considérer la famille de droite passant par le point $(-1,0)$ et de pente $t$. Quelle relation avec la paramétrisation du cercle ? Cela vous rappelle-t-il quelque chose qui lie $\cos$ et $\cosh$ ?
  • (Antoine Pichoff - 4.5.2) - Soient $a,b\in\Rd$. Notons $Z(t)=\exp(at+ibt)$. Soit $\tau\in\Rd$ et $F_\tau:z\mapsto Z(t)\times z$. Quelle est la nature de la transformation $F_\tau$ ? Que représente la courbe paramétrée $Z(t)$ (comme si nous étions en physique). Montrer que $F_\tau\big(Z(t)\big)=Z(t+\tau)$. En déduire que la spirale est une courbe invariante sous la transformation $F_\tau$. Montrer que tout droite issue de l'origine du repère coupe la spirale avec un angle constant.
  • (Antoine Pichoff - 4.6) - On cherche à factoriser sur $\Zd$, le polynôme $T(X)=1+X+X^2+X^3+\dots +X^{11}$. Rappeler le théorème de D'Alembert-Gauss. Calculer $T(X)\times (X-1)$, en déduire une factorisation sur $\Cd$ de $T$. Quel sont les nombres $z$ de norme $1$, tels que $(X-z)(X-\overline{z})\in\Zd[X]$, i.e. est un polynôme dont les coefficients sont des nombres entiers ? Notons $\xi_k=\exp(\frac{ik\pi}{6})$. Que vaut $\xi_i^{12}$ ? Montrer que $\xi_i^j=1\Rightarrow j$ divise $12$. Quel sont les diviseurs de $12$ ? Faire un tableau sur la première ligne figure les $12$ $\xi_i$. Sur la seconde ligne, les carrés de chacune, puis les puissance troisième, puis quatrième et sixième (en fonction des $\xi_k$ dans chaque case). Réarranger les racines $12$-ièmes de l'unité pour obtenir une factorisation de $T$ sur $\Zd[X]$.
  • (Bertrand des Abbayes - 4.1.1) - Résoudre $z^2=\sqrt3/2+i/2$ sous forme algébrique.
  • (Bertrand des Abbayes - 4.1.2) - Soit $(z_1,z_)$ dans $\Cd\times\Rd$ et $z=z_1+iz_2$. Montrer $|z|^2=z_1^2+z_2^2 \Leftrightarrow z=0$.
  • (Bertrand des Abbayes - 4.2) - Soit $z$ complexe tel que $|z-1/2|\leq1/2$. Montrer $|z(1-z)-1/2|\leq1/2$.
  • (Bertrand des Abbayes - 4.3) - Linéariser $\sin(2x)\cos^2(x)\sin(x)$.
  • (Didier Robbes - 4.1) - Résoudre dans $\Cd$ les équations : $z+\bar{z}=8+4i$, $2z-|z|^2+1-2i=0$, $z^2-4z+5=0$.
  • (Didier Robbes - 4.2) - Pour quels entiers $n$ existe-t-il $\lambda$ dans $\Ud$ tel que $\lambda+\lambda^2+\cdots+\lambda^n=0$ ?
  • (Didier Robbes - 4.3) - Résoudre dans $\Cd$ les équations : $\displaystyle\frac{z-i}{\bar{z}+i}=1$, $\displaystyle\frac{z-i}{\bar{z}+i}=z$ et $\displaystyle\frac{z-i}{\bar{z}-i}=z$.
  • (Françoise Gillardeau - 4.1) - Soit $\omega$ une racine de l'unité. Calculer $\sum_{k=1}^nk\omega^{k-1}$.
  • (Françoise Gillardeau - 4.2.1) - Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k{n\choose 2k}$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k{n\choose 2k+1}$.
  • (Françoise Gillardeau - 4.2.2) - Racines carrées de $7-24i$.
  • (Françoise Gillardeau - 4.3) - Résoudre $z^2-(\sin(\phi)+i\cos(\phi))z+1=0$ pour $\phi$ réel.
  • (François Sauvageot - 4.1) - Trouver les similitudes envoyant $1$ sur $2i$ et $2+i$ sur $1+i$.
  • (François Sauvageot - 4.2) - Montrer que si $a$ et $b$ sont tous deux sommes de deux carrés d'entiers, il en est de même pour $ab$. Que dire de $2009$ ?
  • (François Sauvageot - 4.3) - Trouver tous les $z$ tels que O est le centre du cercle inscrit dans le triangle dont les sommets sont d'affixes $z$, $z^2$, $z^3$.
  • (Jacques Paris - 4.1) - Calculer $\displaystyle\sum_{z\in\Ud_n}|z-1|$.
  • (Jacques Paris - 4.2.1) - Soit $f$ la transformation du plan complexe qui à $M(z)$ associe $M'(z')$ avec $z'=az+3i$. Nature et éléments caractéristiques de $f$ lorsque $a=2$, puis $a=-i$.
  • (Jacques Paris - 4.2.2) - Soit $A(i)$, $B(2+i)$, $A'(2i)$ et $B'(1+i)$. Vérifier $AB=A'B'$. Démontrer qu'il existe une unique rotation $r$ telle que $r(A)=A'$ et $r(B)=B'$.
  • (Jacques Paris - 4.3.1) - Racines carrées complexes de $5-12i$.
  • (Jacques Paris - 4.3.2) - Montrer que $z^3-(1+2i)z^2+3(1+i)z-10(1+i)=0$ a une solution imaginaire pure.
  • (Jean-Louis Liters - 4.1.1) - Forme algébrique de $z+z^2+z^4$ pour $z=e^{2i\pi/7}$.
  • (Jean-Louis Liters - 4.1.2) - Module et si possible argument de $\displaystyle\frac{1+sin(\theta)+i\cos(\theta)}{1+sin(\theta)-i\cos(\theta)}$.
  • (Jean-Louis Liters - 4.2) - Résoudre $\displaystyle\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^3=i$ et expliquer pourquoi on pouvait deviner que les trois racines sont réelles.
  • (Jean-Louis Liters - 4.3) - Expliciter $\left\{M(z)|\exists(t,u)\in\Rd^2\;z=e^{it}+e^{iu}\right\}$.
  • (Jean-Michel Rey - 4.1) - Résoudre $z^4+4iz^2+12(1+i)z-45=0$ sachant qu'il existe $u$ solution réelle et $v$ solution imaginaire pure.
  • (Jean-Michel Rey - 4.2) - Résoudre $2arg(z+i)=arg(z)+arg(i)$ $[2\pi]$.
  • (Jean-Michel Rey - 4.3) - Résoudre $(z-1)^n-\bar{z}^n=0$.
  • (Mohammed Laadnani - 4.1) - Trouver l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que: $|z|=z+\overline{z}$ et donner une interprétation géométrique.
  • (Mohammed Laadnani - 4.2) - Résoudre $z^4 -(5-14i)z^2-2(12+5i) = 0$.
  • (Mohammed Laadnani - 4.3) - Résoudre $z^3-(1+2i)z^2+3(1+i)z-10(1+i)=0$ en cherchant en premier une solution comme un imaginaire pur.
  • (Philippe Skler 4.1) - Condition nécessaire et suffisante sur $(a,b,c)$ dans $\Cd^3$ pour que les points d'affixes $a$, $b$, $c$ forment un triangle équilatéral.
  • (Philippe Skler 4.2) - Soit $(a,b,c,d)\in \Cd^4$ tel que $a+ib=c+id$ et $a+c=b+d$. Que peut on dire des points d'affixes $a,b,c,d$ ? En déduire qu'il existe $z \in \Cd$ tel que $(z-a)^4 = (z-b)^4 = (z-c)^4 = (z-d)^4$.
  • (Philippe Skler 4.3) - Trouver l'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $\left(\displaystyle \frac{iz+1}{2z+i}\right)^2\in i \Rd$.
  • (Véronique Bluteau - 4.1) - Soit $\theta$ dans $]-\pi;\pi[$ et $M(z_0)$ avec $z_0=(1+e^{i\theta})^2/2$. On projette orthognalement $A(1)$ en $P$ sur $(OM)$. Donner module et argument de $z_0$, trouver le lieu de $P$ lorsque $\theta$ varie, calculer $PM$ et doner une construction géométrique de l'ensemble des points $M$.
  • (Véronique Bluteau - 4.2) - Résoudre dans $\Rd$, $\cos(x)+\cos(3x)+\cos(5x)+\cos(7x)+\cos(9x)=0$.
  • (Véronique Bluteau - 4.3) - Soit $\alpha$ dans $[0;2\pi[$, $n$ dans $\Nd$. Donner le module et l'argument de $(1-\sin(\alpha)+i\cos(\alpha))^n$ quand ils existent.