Semaine 7

Semaine 7

  • (Abdelhaq Abdelqari - 7.1) - Dans l'espace $ \Rd^{3}$ , on considère le plan $P$ d'équation: $x+2y+z+1=0$ et la droite $D$ d'équations $3x-y+z=x+y-z+1=0$. Déterminer la droite $D'$ symétrique de $D$ par rapport au plan $P$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 7.2) - Former les équations cartésiennes des sphères contenant le cercle $C$ : $z=x^{2}+y^{2}-2y-1=0$ et tangentes à la droite $D$ $x-(z+4)=y-(2z+3)=0$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 7.3) - Former une équation cartésienne de la sphère tangente en $A(1,2, 1)$ à $D$ : $x+y-2z-1=2x-y-3z+3=0$ et tangente en $A' (1,-1, -2)$ à $D'$ : $2x+y+2z+3=x-y-z-4=0$.
  • (Anthony Maxilaris - 7.1) - Équation de $P$ contenant $D$ : $x-3z-2=y+5z-1=0$ et situés à la distance 1 du point $A(1;-1;0)$.
  • (Anthony Maxilaris - 7.2) - Montrer que l'intersection de $S$ : $x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z+5=0$ avec $P$ : $2x+y-z=0$ est un cercle et le préciser.
  • (Anthony Maxilaris - 7.3) - Trouver toutes les droites $\Delta$ rencontrant $D_1$ : $y-x=z-1=0$ et $D_2$ : $y+x=z+1=0$ et dont la distance à $(Ox)$ est $\sqrt{1/2}$ et celle à $(Oy)$ est $\sqrt{3/2}$.
  • (Antoine Pichoff - 7.1) - On donne dans le plan deux points fixes $F$ et $A$. On considère les ellipses $\mathcal{E}$ dont un foyer est $F$ et $A$ est le sommet de l'axe focal le plus voisin de $F$. Quel est l'ensemble des points $O$ centres des ellipses $\mathcal{E}$ ? Soit $O$ un point de cet ensemble et soit $D$, la perpendiculaire ą $(AF)$ en $O$. Construire (au moyen d'un compas seulement) les sommets $B$ et $B^\prime$ de l'ellipse $E$ de centre $O$ appartenant à $D$. Soit $B$, un sommet du petit axe d'une ellipse $E$. Montrer que $B$ appartient ą une parabole $P$ de foyer $F$ dont on déterminera la directrice $\delta$. Déterminer le lieu des points $B$.
  • (Antoine Pichoff - 7.2) - Le plan complexe $P$ est rapporté au repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On note $f$ l'application de $P\setminus\{O\}$ dans $P$ qui a tout point $M$ d'affixe $z$ non nul associe le point $M^\prime$ d'affixe $\displaystyle z^\prime=\frac{z}{i+1}+\frac{1+i}{z}$. Soit $D^*$, la droite réelle privée du point $O$. Montrer que l'image par $f$ de $D^*$ est incluse dans une hyperbole $H$ dont on donnera l'équation cartésienne. Préciser les éléments caractéristiques de $H$ (centre,sommets, asymptotes). Tracer $H$. Soit $\theta\in\Rd$ et $M$ d'affixe $z=e^{i\theta}$. Déterminer le module et l'argument (principal) de chacun des nombres $1+i$ et $\frac{1}{1+i}$. Montrer que les coordonnées de $M^\prime$, image de $M$ par $f$ peuvent s'écrire sous la forme $(a\cos(\pi/4-\theta),b\sin(\pi/4-\theta))$ où $a$ et $b$ sont de réels à déterminer. On note $E$, l'ensemble des $M^\prime$ lorsque $\theta$ décrit $\Rd$. Quelle est la nature de $E$ ? Donner une équation cartésienne de $E$. Tracer $E$.
  • (Antoine Pichoff - 7.3) - Soit $\mathcal{H}$, l'hyperbole d'équation $yx=1$. Montrer que les centres des triangles équilatéraux inscrits dans $\mathcal{H}$ appartiennent ą $\mathcal{H}$. Montrer que pour tout point $M$ de l'hyperbole, l'intersection de $\mathcal{H}$ et du cercle de centre $M$ et passant par $M^\prime$, symétrique de $M$ par rapport ą $O$ est composée de $M^\prime$ et de trois autres points formant un triangle équilatéral de centre de gravité $M$. Donner finalement le lieu des centres des triangles équilatéraux inscrits dans $\mathcal{H}$.
  • (Antoine Pichoff - 7.4) - On munit $\Rd^3$ de sa structure affine. Soient $\alpha$, $\beta\in\Rd_+^*$, $D_1=\{(x,y,z)\in\Rd^3$ tels que $y=\alpha x$; $z=\beta\}$ et $D_2=\{(x,y,z)\in\Rd^3$ tels que $y=-\alpha x$; $z=-\beta\}$. Déterminer le lieu des points équidistants de $D_1$ et de $D_2$.
  • (Antoine Pichoff - 7.5) - Un triangle $ABC$ étant donné, étudier l'existence des points $O$ tels que les trois droites $(OA)$, $(OB)$ et $(OC)$ soient deux à deux perpendiculaires.
  • (Antoine Pichoff - 7.6) - On note $D$ l'axe $(Oz)$ et $D^\prime$ la droite passant par $A(a,0,0)$, dirigée par $\vec{u}=(1,1,1)$. Trouver les lieux des points équidistants de $D$ et $D^\prime$.
  • (Antoine Pichoff - 7.7) - On considère les droites $D_1=\{(x,y,z\in\Rd^3$ tels que $x=y$, $z=1\}$ et $D_2=\{(x,y,z\in\Rd^3$ tels que $x=z+1$, $y=2z+3\}$. Montrer qu'il existe un unique couple $(P_1,P_2)$ de plans parallèles tels que $D_1\subset P_1$ et $D_2\subset P_2$.
  • (Bertrand des Abbayes - 7.1) - Soit un cube de faces $(ABCD)$, $(EFGH)$ et $(ABFE)$ et $I$ défini par $\vec{GI}=2/3\vec{GH}$. Calculer $d(I,(AC)$ et $d(F,(ACI))$.
  • (Bertrand des Abbayes - 7.2) - Distance de $O$ au plan passant par $A(2;1;0)$, $B(1;3;0)$ et $C(1;1;4)$. Équations de l'intersection de $(ABC)$ avec $(Oyz)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 7.3) - Soit $OABCDEFG$ un cube de faces $(OABC)$, $(DEFG)$ et $(OCGD)$ avec $\vec{OA}=\vec\imath$, $\vec{OC}=\vec\jmath$ et $\vec{OD}=\vec{k}$. Pour $a$ réel, soit $\vec{OL}=a\vec{OC}$, $\vec{OM}=a\vec{OA}$, $\vec{BK}=a\vec{BF}$ et $H$ le projeté de $O$ sur $(DLM)$. Calculer $d(H,K)$.
  • (Didier Robbes - 7.1) - Soit $E$ une ellipse de centre $O$ et $A$ un point de $E$. Soit $A'$ le symétrique de $A$ par rapport au grand axe et $M$ l'intersection de la normale en $A$ et de $OA'$. Que décrit $M$ lorsque $A$ décrit $E$ ?
  • (Didier Robbes - 7.2) - Déterminer l'ensemble des points du plan par lesquels on peut mener deux tangentes perpendiculaires à une parabole donnée.
  • (Didier Robbes - 7.3) - Soit $ABCD$ un rectangle. Déterminer le lieu géométrique des points $M$ tels que les cercles circonscrits à $(MAB)$ et $(MCD)$ aient même rayon.
  • (Françoise Gillardeau - 7.1) - Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A(2;3;1)$, sécante avec $z=2x-3y+1=0$ et parallèle à $2x-5y+4z-1=0$.
  • (Françoise Gillardeau - 7.2) - Soit $A(-1;2;3)$, $B(-2;0;0)$, $C(0;3;0)$ et $D(0;0;4)$. Donner le volume du tétraèdre $(ABCD)$ et du parallélépipède d'arêtes $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.
  • (Françoise Gillardeau - 7.3) - Exprimer la distance entre deux droites données par un point et un vecteur directeur.
  • (François Sauvageot - 7.1) - Donner une équation du plan contenant $x-3z-2=y+5z-1=0$ et dont la distance à $(1;-1;0)$ vaut 1.
  • (François Sauvageot - 7.2) - Donner une équation du plan perpendiculaire à $-x+3y-5z=0$ et contenant la droite $(1-x)/2=y+2=(3-z)/3$.
  • (François Sauvageot - 7.3) - Décrire les plans perpendiculaires à $2x-3y+4z-1=0$ intersectant le pan $y=0$. Puis ceux passant en plus par $(1;0;1)$.
  • (Jacques Paris - 7.1) - Trouver la perpendiculaire commune à $x+2y-z-1=2x-y+2z-2=0$ et $x+y+z-3=x-y+2z=0$.
  • (Jacques Paris - 7.2) - Équation de la sphère circonscrite à $A(1;2;3)$, $B(2;3;1)$, $C(3;1;2)$ et $D(1;0;-1)$.
  • (Jacques Paris - 7.3.1) - Calcul de la distance de $B(1;0;-1)$ à $(x,y,z)=(1+t,1-t,2t)$.
  • (Jacques Paris - 7.3.2) - Pour tous $A$, $B$, $C$, $M$, montrer $\vec{MA}\wedge\vec{MB}+\vec{MB}\wedge\vec{MC}+\vec{MC}\wedge\vec{MA}=\vec{AB}\wedge\vec{AC}$.
  • (Jean-Louis Liters - 7.1) - Soit la parabole d'équation $y^2=2px$ de foyer $F$. Une droite variable passant par $F$ coupe la parabole en $A$ et $B$. Trouver le lieu des centres des cercles circonscrits à $(OAB)$.
  • (Jean-Louis Liters - 7.2) - Soit $O(0;0)$, $A(1;0)$ et $B(0;1)$. Trouver le lieu des isobarycentres de trois points alignés appartenant l'un à $(OA)$, l'autre à $(OB)$ et le dernier à $(AB)$.
  • (Jean-Louis Liters - 7.3) - Soit la conique $\frac{x^2}4+y^2=d^2$ de foyers $F$ et $F'$.Soit $H$ et $H'$ les projetés orthogonaux de $F$ et $F'$ sur la bissectrice de $(MF)$ et $(MF')$. Montrer que $MH.MH'$ est constant lorsque $M$ parcourt la conique.
  • (Jean-Michel Rey - 7.1) - Trouver la droite passant par $A(2;3;1)$ sécante avec $2x-3y+1=z=0$ et parallèle à $2x-5y+4z-1=0$.
  • (Jean-Michel Rey - 7.2) - Trouver la perpendiculaire commune à $x+y+z-1=2x+y+5z-2=0$ et $x+y+z-2=x+y-5z-3=0$.
  • (Jean-Michel Rey - 7.3) - Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $u$ un vecteur non nul. Trouver $M$ tel que $\vec{MA}\wedge\vec{MB}=u$.
  • (Mohammed Laadnani - 7.1) - On donne les cercles $C_1$ et $C_2$ d'équations $2x+5y+4z-6= x^2+y^2+z^2-4y-8z-16=0$ et $2x+3y+z-15=x^2+y^2+z^2-4x-6y-4z-8=0$. Déterminer s'il existe une sphère qui contient ces deux cercles.
  • (Mohammed Laadnani - 7.2) - On donne les points $A(1;2;1)$, $B(2;1;-1)$, $C(1;0;1)$ et $D(3;2;1)$. Prouver que ces points sont non-coplanaires et calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. Donner les équations des hauteurs.
  • (Mohammed Laadnani - 7.3) - On considère les plans $P$ et $Q$ d'équations $P$ : $x+y+z=1$ et $Q$ : $2x -y +z =1$. Donner l'équation du plan $Q'$ symétrique de $Q$ par rapport à $P$.
  • (Philippe Skler 7.1) - Donner les équations cartésiennes des plans contenant la droite définie par le système d'équations : $x=6-3z=3y-7$. et situés à la distance 1 du point de coordonnées $\left( 1,1,2\right)$
  • (Philippe Skler 7.2) - Donner un système d'équations cartésiennes de la perpendiculaire commune aux droites $D$ : $x+y-3z+4=2x-z+1=0$ et $D^{\prime }$ $x=z-1=y$, puis calculer la distance entre les deux droites.
  • (Philippe Skler 7.3) - Déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre dont les faces ont pour équations : $x+y+z=0$, $x+y-z=2$, $x-y+z=4$ et $-x+y+z=6$.
  • (Véronique Bluteau - 7.1) - Former les équations cartésiennes des plans contenant la droite $x-3z-2=y+5z-1=0$ et à distance 1 de $A(1;-1;0)$.
  • (Véronique Bluteau - 7.2) - Trouver toutes les sphères contenant le cercle $x^2+y^2-2x-6y+9=z=0$ et tangentes au plan $x+z=4$.
  • (Véronique Bluteau - 7.3) - Soit $A$ un point de l'espace n'appartenant pas à l'axe $(Oz)$. Pour $h$ et $m$ deux réels strictement positifs, soit $D_1$, $D_2$, $D_3$ et $D_4$ les droites d'équations respectives $y-mx=z-h=0$, $y-mx=z+h=0$, $y+mx=z-h=0$, $y+mx=z+h=0$. Montrer que les symétriques de $A$ par rapport à ces quatre droites sont coplanaires et former une équation cartésienne de leur plan.