Semaine 10

Semaine 10

  • (Abdelhaq Abdelqari - 10.1.1) - Calculer $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\tan^2(x)dx$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 10.1.2) - soit $(E)$ l'équation différentielle $x^{2}y''(x)-2y(x)=x$. En utilisant les changements de variables $z(t)=y(e^{t})$ et $z(t)=y(-e^{t})$, montrer que $z$ est solution d'une équation différentielle à coefficients constants. Résoudre l'équation $(E)$ en précisant l'ensemble de définition de ses solutions.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 10.2) - Calculer $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{(1+\cos(x))(1+\sin(x))}dx$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 10.3) - Soit $f$ : $[a;b]\rightarrow\Rd$ continue telle que $f(a+b-x)=f(x)$ pour tout $x$. Montrer $\displaystyle \int_a^bxf(x)dx=\frac{a+b}{2} \int_a^bf(x) dx$. Application : calculer $\displaystyle I=\int_0^{\pi}\frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)}dx$.
  • (Anthony Maxilaris - 10.1.1) - Calculer $\int x\cos(x)e^xdx$.
  • (Anthony Maxilaris - 10.1.2) - Équation de type Euler. Résoudre $x^2y"+3xy'+y=0$ sur $\Rd^*_+$, $\Rd^*_-$ et $\Rd$.
  • (Anthony Maxilaris - 10.2.1) - Calculer $\int\sqrt[3]{e^x-1}dx$.
  • (Anthony Maxilaris - 10.2.2) - Résoudre sur $\Rd$ : $y"-4y'+4y=(x^2+1)e^x$.
  • (Anthony Maxilaris - 10.3.1) - Calculer $\displaystyle\int\frac{\cos^3(x)+\cos^5(x)}{\sin^2(x)+\sin^4(x)}dx$.
  • (Anthony Maxilaris - 10.3.2) - Trouver les applications $f$ de $\Rd$ dans $\Rd$ déivables et telles que $\forall x\in\Rd$ $f'(x)+f(-x)=xe^x$.
  • (Antoine Pichoff - 10.1.1) - Résoudre l'équation différentielle $y^\prime \cos^2(x)+y\sin^2(x)=e^x$, sur $]0,\pi[$.
  • (Antoine Pichoff - 10.1.2) - Donner une relation de récurrence permettant de calculer les intégrales $\int_0^{\pi/4}\tan ^n(x) dx$ pour $n\in\Nd$.
  • (Antoine Pichoff - 10.2) - Calculer une primitive $F$ de $f$ : $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{3+\sin x}$. On pourra poser $t=\tan(x/2)$. Que vaut $F(\pi)$ ? En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\frac{dx}{3+\sin x}$.
  • (Antoine Pichoff - 10.3) - On note, pour tout entier $n$, $\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^n x}$. Montrer qu'on a la relation de récurrence $I_{n+2}=(\sqrt{2})^n-n(I_{n+2}-I_n)$. Exprimer (sous forme d'une somme) la valeur de $I_n$.
  • (Antoine Pichoff - 10.4) - (Modèle de Lotka-Volterra) Soient $a$, $b$, $c$, $d$ dans $\Rd_+$. On considère deux fonctions $N$ et $P$ du temps $t$ vérifiant le système d'équations suivantes :$\frac{dN}{dt}=N(a-bP)$ et $\frac{dP}{dt}=P(cN-d)$. Sachant que $N(t)$ désigne le nombre d'individus d'une espèce (proie) à l'instant $t$ et $P(t)$ désigne le nombre d'individus d'une autre espèce (prédateur) à l'instant $t$, commentez ces équations. Posons $u=\frac{cN}{d}$, $v=\frac{bP}{a}$, $\tau=at$ et $\gamma=\frac{d}{a}$, montrer que le système peut se récrire de façon plus simple (et sans unité). Chercher les points d'équilibre (au sens physique) de ce système. Montrer que $\gamma u+v-\ln(u^\gamma v)$ est constant. Représenter ces courbes dans l'espace des phases, i.e. $v=f(u)$. En déduire que les fonctions $u$ et $v$ sont périodiques.
  • (Antoine Pichoff - 10.5) - (Intégrale elliptique et moyenne arithmético-géométrique) On note pour tout $a$, $b$ dans $\Rd$, $\displaystyle I(a,b)=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)+b^2\sin^2(\theta)}}$. Que valent $I(a,0)$, $I(0,b)$, $I(a,a)$ ? Existe-t-il des relations de parité ? On suppose $a,b>0$. Montrer que $I(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab})=I(a,b)$. On pourra faire le changement de variable : $\displaystyle\sin t=\frac{2a\sin u}{a+b+(a-b)\sin^2u}$. On définit $(a_n)$ et $(b_n)$, deux suites, par récurrence : $a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+b_n)$ et $b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$, avec $a_0=a$ et $b_0=b$. Montrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers un nombre $M(a,b)$. En déduire que pour tout $(a,b)\in\Rd^2$, $\displaystyle I(a,b)=\frac{\pi}{2M(|a|,|b|)}$. Ces intégrales sont qualifiées d'elliptique, sauriez-vous montrer pourquoi ?
  • (Antoine Pichoff - 10.6) - (Irrationalité de $\pi$) Soit $g$ : $\Rd\longrightarrow \Rd$, une fonction polynôme à coefficients entiers. On notera $d$ son degré. On considère le polynôme $h$ : $\Rd\longrightarrow\Rd$, $\displaystyle x\longmapsto \frac{x^ng(x)}{n!}$. Pour tout $k$ entier, montrer que $h^{(k)}(0)$ est un entier. On suppose que $\pi^2$ est rationnel : $\pi^2=\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont entiers. Pour tout $n$, on pose $f_n$ : $[0,1]\longrightarrow \Rd$, $\displaystyle x\longmapsto \dfrac{x^n(1-x)^n}{n!}$. Pour tout $n\in\Nd^*$, montrer que $I_n=\pi a^n\int_0^1f_n(x)\sin(\pi x) dx$ est un entier. Conclure.
  • (Bertrand des Abbayes - 10.1) - Résoudre sur un intervalle réel, d'abord inclus dans $\Rd_+^*$ : $2x^2y'+y=1$.
  • (Bertrand des Abbayes - 10.2) - Résoudre sur un intervalle réel ne contenant aucun $\pi/2+k\pi$ ($k$ entier) : $y'+\tan(x)=\sin(2x)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 10.3) - Résoudre sur $\Rd$ : $y"+2ay'+by$.
  • (Didier Robbes - 10.1.1) - Résoudre $(1+x)y"-2y'+(1-x)y=0$ en posant $z=e^{-x}y$.
  • (Didier Robbes - 10.1.2) - Soit $f\in C^1(\Rd_+)$ vérifiant $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)+2f'(x))=0$, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
  • (Didier Robbes - 10.2) - Résoudre $(1-x^2)y"-xy'+9y=0$ en posant $t=\arcsin(x)$.
  • (Didier Robbes - 10.3) - Chercher $f$ telle que $\forall x\in\Rd$, $f'(x)-2f(-x)=0$, en posant $t=\ln(|x|)$.
  • (Françoise Gillardeau - 10.1) - Calculer $\displaystyle \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^3(x)+\cos(x)}$.
  • (Françoise Gillardeau - 10.2) - Déterminer une primitive de $\sinh^3$. Résoudre $xy'-y-x\sinh^3(x)=0$.
  • (Françoise Gillardeau - 10.3) - Calculer $\displaystyle\int\frac{\tan(x)}{1+\sin^3(x)}dx$.
  • (François Sauvageot - 10.1.1) - Calculer $\int x\cos(x)e^x$.
  • (François Sauvageot - 10.1.2) - Résoudre $y"+y'-6y=\cos(x)$.
  • (François Sauvageot - 10.2) - Résoudre $2x^2y'+y=1$ sur $\Rd^*$ puis sur $\Rd$.
  • (François Sauvageot - 10.3) - Résoudre sur $\Rd$ : $y'(x)+y(-x)=0$.
  • (Jacques Paris - 10.1) - Résoudre $y"+y=\tan(t)$.
  • (Jacques Paris - 10.2) - Chercher une solution polynomiale puis résoudre $t^2y"+ty'-y=0$ sur $\Rd_+^*$.
  • (Jacques Paris - 10.3) - Résoudre $y"+y'-2y=\sin(x)$ avec $y(0)=y'(0)=0$.
  • (Jean-Louis Liters - 10.1) - Calculer $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x^2+x+1)^2}dx$.
  • (Jean-Louis Liters - 10.2.1) - Résoudre $x^2y"-xy'+y=\cos(\ln(x))$.
  • (Jean-Louis Liters - 10.2.2) - Calculer $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\cos^3(2\theta)}{\cos^3(\theta)}d\theta$.
  • (Jean-Louis Liters - 10.3) - Résoudre $(x+1)y"-y'-xy=e^{-x}$.
  • (Jean-Michel Rey - 10.1) - Calculer $\displaystyle \int\frac{x^3}{x^2-4x+3}dx$.
  • (Jean-Michel Rey - 10.2) - Calculer $\displaystyle \int\frac{x^2}{(x^2+1)(x-1)}dx$.
  • (Jean-Michel Rey - 10.3) - Calculer $\displaystyle \int\frac{4x}{(x+1)(x-1)^2}dx$.
  • (Mohamed Laadnani - 10.1) - Résoudre l'équation différentielle $(t^2 + 1)y'' - 2y = t$ en commençant par rechercher les polynômes solutions.
  • (Mohamed Laadnani - 10.2) - Résoudre l'équation $t^2 y'' + ty' - y = 1$. On cherchera une solution particulière de l'équation homogène sous forme de polynôme puis une deuxième à l'aide de la méthode de Lagrange.
  • (Mohamed Laadnani - 10.3) - Résoudre l'équation $(x^2 + 1)y'' + xy' - y = 0$. On cherchera une solution particulière sous forme de polynôme puis une deuxième à l'aide de la méthode de Lagrange.
  • (Philippe Skler 10.1.1) - Calcul de $\displaystyle \int_0^1x\arctan^3(x)dx$.
  • (Philippe Skler 10.1.2) - Résoudre $y''+y'+y=x-1$.
  • (Philippe Skler 10.2) - Soit $f$ telle que $\forall x\in \Rd \; f(x)+f''(x)\geq 0$. Montrer que $\forall x\in \Rd \; f(x)+f(x+\pi)\geq 0$.
  • (Philippe Skler 10.3) - Résoudre $y''-y'-e^{2x}y = e^{3x}$.
  • (Véronique Bluteau - 10.1) - Calcul de primitives de $(x^3+1)^{-1}$ et de $(x^3+1)^{-2}$.
  • (Véronique Bluteau - 10.2) - Résoudre $y"+4y=x\cos^2(x)$.
  • (Véronique Bluteau - 10.3) - Calcul de $\int\tan^n(x)dx$ pour $n$ entier.