Semaine 13

Semaine 13

  • (Abdelhaq Abdelqari - 13.1) - Soient $E$, $F$ et $G$, trois $\Kd$-espaces vectoriels, $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $g\in\mathcal{L}(F,G) $. Montrer $\Ker(gof)=Ker(f)\Leftrightarrow\Ker(g)\cap\Im(f)=\{0\}$ et $\Im(gof)=\Im(g)\Leftrightarrow\Ker(g)+\Im(f) =F$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 13.2) - Soient $E$ un $\Kd$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mathcal{L} (E)$. Montrer $\Ker(f)=\Im(f)\Leftrightarrow(f^{2}=0$ et $n=2\rg(f))$.
  • (Anthony Maxilaris - 13.1) - Soit $f$ dans ${\cal L}(E)$, montrer $\Im(f)\cap\Ker(f)=\{0\}\Leftrightarrow\Ker(f)=\Ker(f^2)$ et $E=\Im(f)+\Ker(f)\Leftrightarrow\Im(f)=\Im(f^2)$.
  • (Anthony Maxilaris - 13.2) - $p$ et $q$ deux projecteurs qui commutent ...
  • (Anthony Maxilaris - 13.3) - Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que, pour tout $x$ de $E$, $(x,f(x))$ est liée. Montrer que $f$ est une homothétie.
  • (Antoine Pichoff - 13.1) - Soit $E$ l'ensemble des applications de $\Rd$ dans $\Rd$. On note $\mathcal{P}$ et $\mathcal{I}$, l'ensemble des fonctions paires et impaires respectivement. Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{I}$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $E=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$. Soit $f$ : $x\mapsto e^x$. Calculer la projection de $f$ sur $\mathcal{P}$ parallèlement à $\mathcal{I}$.
  • (Antoine Pichoff - 13.2) - Soit $E=\{(x,y,z)\in\Rd^3$ tels que $2x+y=z\}$ et $F=\{(x,y,z)\in\Rd^3$ tels que $x=y=z\}$. Montrer que $E$ et $F$ sont deux espaces supplémentaires de $\Rd^3$.
  • (Antoine Pichoff - 13.3) - On note $V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)$ tels que $x_1=x_2-3x_3,x_3=2x_4\}$. Montrer que $V$ est un espace vectoriel. Donner la dimension de $V$. Donner un supplémentaire de $V$ (dans quel espace ?).
  • (Antoine Pichoff - 13.4) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel. Soit $u\in{\cal L}(E)$. Soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer $u\circ p=p\circ u\Longleftrightarrow\Im(p)$ et $\Ker(p)$ sont stables par $u$.
  • (Antoine Pichoff - 13.5) - On note, pour $k\in\Nd$, $G_k=\{(a+b,a-kc,b+kc-a,a+b+c)$ tel que $a$, $b$, $c\in\Rd\}$. Montrer que $G_k$ est un $\Rd$-espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
  • (Antoine Pichoff - 13.6.1) - On note $E=\{(a,b,c,d)\in\Rd^4$ tels que $a-b=c-d\}$. Montrer que $E$ est un $\Rd$-espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
  • (Antoine Pichoff - 13.6.2) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel. Soit $f$ une application linéaire injective de $E$. Soient $E_1$ et $E_2$, deux sous-espaces vectoriels de $E$, supplémentaires. Montrer $\Im(f)=f(E_1)\oplus f(E_2)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 13.1) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel de dimension finie, montrer $\Im(f)=\Im(f^2)\Leftrightarrow \Ker(f)=\Ker(f^2)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 13.2) - Soit $p$ et $q$ des projecteurs tels que $p\circ q=0$. Montrer que $p+q-q\circ p$ est un projecteur.
  • (Bertrand des Abbayes - 13.3) - Soit $A$, $B$ et $C=AB-BA$ des matrices carrées d'ordre $n$ sur $\Kd$ telles que $BC=CB$. Montrer que, pour $p$ entier, $AB^{p+1}=B^p(BA+(p+1)C)$.
  • (Didier Robbes - 13.1) - Soit $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels, $f$ dans ${\cal L}(E,F)$ et $g$ dans ${\cal L}(E,G)$. Montrer $\Ker(g)\subset\Ker(f)\Rightarrow\exists h\in{\cal L}(G,F)$ tel que $f=h\circ g$.
  • (Didier Robbes - 13.2) - Montrer que, si $f$ est un endomorphisme de $E$, $\Im(f)=\Im(f^2)\Leftrightarrow E=\Ker(f)+\Im(f)$.
  • (Didier Robbes - 13.3) - Soit $f$ un endomprphisme de $E$ tel que, pour tout $x$ dans $E$, $(x,f(x))$ est liée. Montrer que $f$ est une homothétie.
  • (Françoise Gillardeau - 13.1) - Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie $n$ tels que $u\circ v=0$ et $u+v$ est bijectif. Montrer $\rg(u)+\rg(v)=n$.
  • (Françoise Gillardeau - 13.2) - Soit $E={\cal C}^0(\Rd,\Rd)$ et $\varphi$ de $E$ dans lui-même qui a $f$ associe l'application $g$ telle que $g(x)=xf(x)$. Vérifier que $\varphi$ est linéaire et déterminer ses noyau et image.
  • (Françoise Gillardeau - 13.3) - Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension $n$ finie tel que $\Ker(f)=\Im(f)$. Donner un exemple de tel $f$ et démontrer que cette propriété est équivalente à $f^2=0$ et $n=2\rg(f)$.
  • (François Sauvageot - 13.1) - Soit, pour $p$ et $q$ dans $\Rd^*$, $H$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre 4 à coefficients dans $\Kd$ de la forme $\displaystyle\left(\begin{array}{cccc}x&py&qz&-pqt\\y&x&qt&-qz\\z&-pt&x&py\\t&-z&y&x\end{array}\right)$ avec $x$, $y$, $z$ et $t$ dans $\Kd$. On note $e=M(1,0,0,0)$, $i=M(0,1,0,0)$, $j=M(0,0,1,0)$ et $k=M(0,0,0,1)$. Montrer que $H$ est un $\Rd$-espace vectoriel. Montrer $i^2=pe$, $j^2=qe$, $k^2=-pqe$, $jk=-kj=-qi$, $ki=-ik=-pj$, $ij=-ji=k$.
  • (François Sauvageot - 13.2) - Soit $0\rightarrow E_0\rightarrow E_1\rightarrow\ldots\rightarrow E_n\rightarrow0$ une suite de $n+1$ applications linéaires $u_i$ entre $\Kd$-espaces vectoriels de dimensions finies telles que $\Im(u_i)=\Ker(u_{i+1})$. Montrer $\sum_{i=0}^{n+1}(-1)^i\dim(E_i)=0$. En déduire la formule de Grassmann.
  • (François Sauvageot - 13.3.1) - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $F$ et $G$, sous-espaces vectoriels de $E$, pour qu'il existe $u$ dans $End(E)$ telle que $\Ker(u)=F$ et $\Im(u)=G$.
  • (François Sauvageot - 13.3.2) - Soit $u$ une application linéaire de $E$ dans $F$, montrer que $N=\cup_{k\ge0}\Ker(u^k)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • (Jacques Paris - 13.1.1) - Soit $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans distincts d'un $\Kd$-espace vectoriel de dimension supérieure à 2. Quelle est la dimension de leur intersection ?
  • (Jacques Paris - 13.1.2) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel de dimension $n$. Montrer qu'il existe un endomorphisme de $E$ tel que $\Im(f)=\Ker(f)$ si et seulement si $n$ est pair.
  • (Jacques Paris - 13.2) - Soit $f$ un endomorphisme de $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel. Montrer $\dim(\Ker(f)\cap F)\geq\dim(F)-\rg(f)$.
  • (Jacques Paris - 13.3) - Soit $f$ et $g$ dans ${\cal L}(E,F)$. Montrer $\rg(f+g)=\rg(f)+\rg(g)\Leftrightarrow (\Im(f)\cap\Im(g)=\{0\}$ et $\Ker(f)+\Ker(g)=E)$.
  • (Jean-Louis Liters - 13.1) - Soit $u$ un endomorphisme de $\Rd^3$ tel que $u^2=0$. Montrer qu'il existe $a$ dans $\Rd^3$ et $f$ une forme linéaire sur $\Rd^3$, tels que $\forall x\in\Rd^3$, $u(x)=f(x)a$.
  • (Jean-Louis Liters - 13.2) - Soit $B$ et $B'$ des bases de $E$ et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $u(B)=B'$. Comparer les matrices de $u$ relativement à la base $B$ et relativement à la base $B'$.
  • (Jean-Louis Liters - 13.3) - Soit $f$ dans ${\cal L}(E,F)$ et $g$ dans ${\cal L}(F,E)$ tels que $f\circ g\circ f=f$ et $g\circ f\circ g=g$. Montrer $E=\Im(g)\oplus\Ker(f)$. Comparer $\rg(f)$ et $\rg(g)$.
  • (Jean-Michel Rey - 13.1) - Soit $F=\{(a,b,c,d)\in\Rd^4\;|\;a=b-3c$ et $c=2d\}$. Montrer que c'est un sous-espace vectoriel, en donner base et dimension ainsi qu'un supplémentaire.
  • (Jean-Michel Rey - 13.2) - Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $x$ un vecteur non nul. Montrer que $F=\{f\in{\cal L}(E)\;|\;f(x)=0\}$ est un espace vectoriel et donner sa dimension.
  • (Jean-Michel Rey - 13.3) - Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme de rang 1. Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\Kd$ tel que $f\circ f=\lambda f$.
  • (Mohammed Laadnani - 13.1) - Soit $E$, $F$ deux $\Kd$-espaces vectoriels de dimensions finies et $f$, $g$ dans ${\cal{L}}(E,F)$. Chercher une condition suffisante pour avoir $\rg(f + g)=\rg(f)+\rg(g)$.
  • (Mohammed Laadnani - 13.2) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel et $f \in {\mathcal{L}}(E)$ tel que $\forall \vec x \in E$, les vecteurs $\vec x$ et $f(\vec x)$ sont colinéaires. Montrer que $f$ est une homothétie vectorielle.
  • (Mohammed Laadnani - 13.3) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ et $f$ un endomorphisme nilpotent non nul de $E$. Soit $p$ le plus petit entier tel que $f^p = 0$. Montrer qu'il existe $\vec x \in E$ tel que la famille $(\vec x,f(\vec x),f^2 (\vec x), \ldots ,f^{p - 1} (\vec x))$ soit libre. En déduire que $f^n = 0$.
  • (Philippe Skler 13.1) - Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies, soient $f$ et $g$ deux applications linaires : $f\in L\left( E,F\right) $ et $g\in L\left( F,E\right) ,$ telles que $f\circ g\circ f=f$ et $g\circ f\circ g=g$. Montrer que $\Im\left( g\right) $ et $\ker \left( f\right) $ sont supplémentaires.
  • (Philippe Skler 13.2) - Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimensions finies, et $f$ une application linéaire de E dans F. Montrer que, pour tout sous espace $F^{\prime }$ de F, on a $ \dim \left( f^{-1}\left( F^{\prime }\right) \right) =\dim \left( E\right) +\dim \left( F^{\prime }\cap \Im\left( f\right) \right) -rg\left(f\right)$.
  • (Véronique Bluteau - 13.1) - Soit $p$ et $q$ des projecteurs de E vérifiant $p\circ q=q\circ p=0$, montrer que $p+q$ est un projecteur.
  • (Véronique Bluteau - 13.2) - Soit $f$ dans ${\cal L}(E)$, montrer $(\Ker(f)=\Ker(f^2)\Leftrightarrow \Im(f)\cap\Ker(f)=\{0\})$ et $(\Im(f)=\Im(f^2)\Leftrightarrow \Im(f)+\Ker(f)=E)$.
  • (Véronique Bluteau - 13.3) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $f$ dans ${\cal L}(E)$. On suppose qu'il existe $x_0$ dans $E$ tel que $(f(x_0),\cdots,f^n(x_0))$ est une base de $E$. Montrer $f\in GL(E)$. Démontrer que $(x_0,f(x_0),\cdots,f^{n-1}(x_0))$ est une base de $E$ et qu'il existe $a_0$, $a_1$, $\cdots$, $a_{n-1}$ dans $\Kd$ tels que $f^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a_0Id_E=0$.