Semaine 14

Semaine 14

  • (Abdelhaq Abdelqari - 14.1) - Soient $E$ et $F$ deux $\Kd$-espaces vectoriels de dimension finie $n$, $(f, f')\in(\mathcal{L} (E))^{2}$ . Montrer $|\rg(f)-\rg(f')| \leq \rg(f+f')\leq\rg(f)+\rg(f')$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 14.2) - Soit $f$ un endomorphisme de $\Rd^{3}$ nilpotent d'ordre 3, c'est à dire tel que $f^{3}=0 $ et $f^{2}\neq 0 $. Montrer $\Ker(f^{2})=\Im(f)$, $\Im(f^{2})=\Ker(f)$, $\rg(f)=2$ et $\rg(f^{2})=1$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 14.3) - Soient $E$ un $\Kd$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $e=Id_{E}$, $f,g\in\mathcal{L}(E)$ tels que $f+g=e$ et $\rg(f)+\rg(g)\leq n$. Établir que $\Im(f)$ et $\Im(g)$ sont supplémentaires dans $E$ et que $\rg(f) + \rg(g) = n $. En déduire que $f$ et $g$ sont des projecteurs.
  • (Anthony Maxilaris - 14.1) - Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$. Montrer que les propriétés ($f\circ g=g$ et $g\circ f=f$) et ($f$ et $g$ sont des projecteurs de même image) sont équivalentes.
  • (Anthony Maxilaris - 14.2) - Soit $f$ un endomorphisme de $E$ de dimension $n$. Montrer $\Ker(f)=\Im(f)\Leftrightarrow f^2=0$ et $n=2\rg(f)$.
  • (Anthony Maxilaris - 14.3) - Soit $f$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie. Montrer l'équivalence entre les quatre propriétés : $E=\Im(f)+\Ker(f)$, $E=\Im(f)\oplus\Ker(f)$, $\Im(f^2)=\Im(f)$ et $\Ker(f^2=\Ker(f)$.
  • (Antoine Pichoff - 14.1) - On considère $\Rd$ comme un $\Qd$-espace vectoriel. Soit $E=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\;|\; a,b,c,d\in\Qd\}$. Montrer que $E$ est un $\Qd$-espace vectoriel. Montrer que $(1,\sqrt{2})$, $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$ et $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ sont des familles libres. En déduire $\dim_{\Qd}(E)$. On pose $u=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Quelle est la dimension de $Vect(u^n,n\in\Nd)$ ? Soit $a\in\Cd$, on dit que \underline{$a$ est algébrique} s'il existe $R\in\Qd[X]$, non nul tel que $R(a)=0$. On suppose que $a$ est algébrique, montrer qu'il existe $\Delta_a$, normalisé tel que $\Delta_a(a)=0$. On note $J(a)=\{P\in\Qd[X]\;|\; P(a)=0\}$. Montrer $J(a)=\Delta_a\times \Qd[X]$. Montrer que $\Delta_a$ est irréductible sur $\Qd$. On note $d=\deg(\Delta_a)$. On note $V(a)=\{P(a)\;|\; P\in\Qd[x]\}$. Montrer que $V$ est un espace vectoriel engendré par la famille $(a^i)_{0\le i\le d-1}$.
  • (Antoine Pichoff - 14.2) - Montrer que l'ensemble $E$ des suites vérifiant la relation $\forall n\in\Nd$, $a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$ (*) est un sous espace vectoriel de l'ensemble des suites numériques. Donner la dimension de cet espace, ainsi qu'une base. On considérera $\phi$ : $E\rightarrow\Rd^2$, $(u_n)\mapsto(u_0,u_1)$. Donner l'ensemble des suites géométriques de $E$. Soit $(x_n)$ vérifiant $(*)$ et tel que $x_0=x_1=1$. Pour tout entier $n$, exprimer $x_n$ en fonction de $n$.
  • (Antoine Pichoff - 14.3) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel. Soit $u\in{\cal L}(E)$. Soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer $u\circ p=p\circ u\Longleftrightarrow\Im(p)$ et $\Ker(p)$ sont stables par $u$.
  • (Antoine Pichoff - 14.4.1) - Soient $E$, $E^\prime$ deux espaces vectoriels. On suppose que $E=F+G$ où $F$ et $G$ sont des sous espaces de $E$. Soient $u\in{\cal L}(F,E^\prime)$ et $v\in{\cal L}(G,E^\prime)$. Etablir : $\exists w\in{\cal L}(E,E^\prime)$ tel que $w_{|F}=u$ et $w_{|G}=v$ $\Longleftrightarrow$ $u_{|F\cap G}=v_{|F\cap G}$.
  • (Antoine Pichoff - 14.4.2) - Soit $\displaystyle\mathcal{M}=\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&c\end{array}\right)\;|\;a,b,c\in\Cd\}$. Montrer que $\mathcal{M}$ est un $\Cd$-espace vectoriel. En donner une base et la dimension. Soit $f$ : $\displaystyle\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{M};\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&c\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}a+c&b\\b&a+b+c\end{array}\right)$. Vérifier que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}$. Ecrire la matrice de $f$ dans la base trouvée en première question. Déterminer $\Im f$, $\Ker f$, $\rg f$ et $\det f$.
  • (Antoine Pichoff - 14.5) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in{\cal L}(E)$, on note pour tout $x\in E$, $\displaystyle E_u(x)=\left\{\sum_{k=0}^p\alpha_ku^k(x)\;|\; p\in\Nd,(\alpha_k)\in\Kd^p\right\}$ (la puissance pour la composition). Montrer que $E_u(x)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $x$ et stable par $u$. Soit $x\neq 0_E$. Soit $k=\dim(E_u(x))$. Montrer que $(u^0(x),u^1(x),\dots u^{k-1}(x))$ est une base de $E_u(x)$. On suppose que pour tout vecteur $x\in E$, $\dim(E_u(x))\leqslant 1$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\Rd$ tel que $\forall x\in E$, $u(x)=\lambda x$. (On dit que $u$ est une homothétie.) On suppose qu'il existe $x_0\in E$ tel que $E_u(x_0)=E$. Montrer que $(u^0,u^1,\dots u^{k-1})$ est une base de ${\cal L}(E)$. Soient $v,w$ tel que $v\circ u=u\circ v$ et $w\circ u=u\circ w$. Montrer que $v=w$ si et seulement si $v(x_0)=w(x_0)$.
  • (Antoine Pichoff - 14.6.1) - Soit $E$ un $\Kd$-eespace vectoriel. Soit $f$ une application linéaire injective de $E$. Soient $E_1$ et $E_2$, deux sous-espaces vectoriels de $E$, supplémentaires. Montrer $\Im f=f(E_1)\oplus f(E_2)$.
  • (Antoine Pichoff - 14.6.2) - Soit $E$ un $\Kd$-eespace vectoriel et $f\in{\cal L}(E)$. Montrer $\Im f^2\subset \Im f$ et $\Ker f\subset \Ker f^2$. Montrer $\forall k\in\Nd$, $\Im f^k=\Im f^{k+1}$ $\Rightarrow$ $\Im f^{k+1}=\Im f^{k+2}$. Montrer $\forall k\in\Nd$, $\Ker f^k=\Ker f^{k+1}$ $\Rightarrow$ $\Ker f^{k+1}=\Ker f^{k+2}$.
  • (Bertrand des Abbayes - 14.1) - Pour $a$ dans $\Cd$, soit $e_1=(1,a,a^2)$, $e_2=(\bar{a},a,\bar{a})$ et $e_3=(\bar{a}^2,\bar{a},1)$ trois vecteurs de $\Cd^3$. Quel est le rang de $(e_1,e_2,e_3)$ ?
  • (Bertrand des Abbayes - 14.2) - Soit $E=\Rd^n$ pour $n\ge2$, $e=(1,\cdots,1)$, $E_1=Vect(e)$, $E_2=\{(x_1,\cdots,x_n)\in E\;|\;\sum_{i=1}^nx_i=0\}$. Montrer $E_1\oplus E_2=E$.
  • (Bertrand des Abbayes - 14.3) - Soit $E$ un $\Kd$-espace vectoriel, $A$, $B$, $C$ et $D$ des sous-espaces vectoriels tels que $A\cap B=C\cap D$. Montrer $A=(A+(B\cap C))\cap(A+(B\cap D))$.
  • (Didier Robbes - 14.1.1) - Soit $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\oplus G=E$, $H\oplus K=E$ et $H\subset G$. Montrer $F\oplus H\oplus(G\cap K)=E$. Réciproques ?
  • (Didier Robbes - 14.1.2) - Soit $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels, $f$ dans ${\cal L}(E,F)$ et $g$ dans ${\cal L}(E,G)$. Montrer $\Ker(g)\subset\Ker(f)\Rightarrow\exists h\in{\cal L}(G,F)$ tel que $f=h\circ g$.
  • (Didier Robbes - 14.2) - Montrer que, si $f$ est un endomorphisme de $E$, $\Im(f)=\Im(f^2)\Leftrightarrow E=\Ker(f)+\Im(f)$.
  • (Didier Robbes - 14.3) - Soit $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\subset G$. Montrer $F+(G\cap H)=(F+H)\cap G$.
  • (Françoise Gillardeau - 14.1.1) - Rang du système de vecteurs $(u,v,w)$ avec $u=(m,1,1)$, $v=(-1,-m,-1)$, $w=(-1,-1,m)$.
  • (Françoise Gillardeau - 14.1.2) - Dans ${\cal M}_4(\Rd)$, soit $A=(a_{i,j})$ avec $a_{i,j}=1$ si $i\geq j$ et $a_{i,j}=0$ sinon. Calculer $A^p$ pour $p$ entier.
  • (Françoise Gillardeau - 14.2) - Soit $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}0&p_1&p_2&\cdots&p_n\\p_1&0&0&\cdots&0\\p_2&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\p_n&0&0&\cdots&0\end{array}\right)$ dans ${\cal M}_{n+1}(\Cd)$. Quel est le rang de $A^2$ ? Discuter.
  • (Françoise Gillardeau - 14.3) - Soit $E=\Kd_n[X]$ et $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par $f(P)=P-P'$. Démontrer que $f$ est bijectif et déterminer son inverse.
  • (François Sauvageot - 14.1) - Montrer que l'ensemble des matrices de la forme $\displaystyle\left(\begin{array}{ccc}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{array}\right)$ avec $a$, $b$ et $c$ rationnels, est un corps.
  • (François Sauvageot - 14.2) - Montrer que $\sqrt2$ est irrationnel et interpréter la preuve comme l'étude d'un déterminant. Montrer que $\sqrt[3]2$ n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers, de degré inférieur à 2 et de terme constant impair.
  • (François Sauvageot - 14.3) - Soit $E={\cal M}_n(\Kd)$ et $\phi$ dans $E^\star$. Montrer $(\forall (A,B)\in E^2 \phi(AB)=\phi(BA))\Leftrightarrow \phi$ est proportionnel à la trace.
  • (Jacques Paris - 14.1) - Soit $f$ dans ${\cal L}(\Rd^3)$ donnée par $f(x,y,z)=(z+y-x,x+z-y,x+y-z)$. Écrire $f(x,y,z)$ comme combinaison des vecteurs de la base canonique. Donner la matrice de $f$ dans cette base. Donner la matrice de $f\circ f$ par deux méthodes : image des vecteurs de la base canonique, produit matriciel.
  • (Jacques Paris - 14.2.1) - Rang de la famille constituée de $(1,1,0,1)$, $(1,-1,1,0)$, $(2,0,1,1)$ et $(0,2,01,1)$ dans $\Rd^4$.
  • (Jacques Paris - 14.2.2) - Soit $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\Rd^3$. Montrer que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base lorsque $v_1=e_1-e_2$, $v_2=e_1+e_3$ et $v_3=e_2-e_3$. Donner la formule de changement de base.
  • (Jacques Paris - 14.3) - Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie $E$ tels que $f+g$ est bijectif et $g\circ f=0$. Montrer $\rg(f)+\rg(g)=\dim(E)$.
  • (Jean-Louis Liters - 14.1) - Soit $a$ un réel. Donner le rang de $\displaystyle\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&1&1&1\\-1&3&3&2\\-2&0&a&3\\-4&3&-1&0\end{array}\right)$.
  • (Jean-Louis Liters - 14.2) - Soit $U$ la matrice carrée d'ordre $n$ dont tous les termes sont égaux à 1. L'ensemble des $aU$ pour $a\in\Rd^*$ est-il un groupe pour la multiplication ?
  • (Jean-Louis Liters - 14.3) - Soit $A$ et $B$ telles que $A+B\in GL_n(\Rd)$ et $AB=0$. Montrer $\rg(A)+\rg(B)=n$.
  • (Jean-Michel Rey - 14.1) - Dans $E=\Rd^3$, soit $H=\{(x,y,z)\in E\;|\; x-y+z=0\}$. Montrer que c'est un sous-espace vectoriel, en donner une base et trouver un supplémentaire $F$. Donner la symétrie par rapport à $H$, parallèlement à $F$.
  • (Jean-Michel Rey - 14.2) - Dans $E=\Rd^3$, soit $(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$ et $\varphi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\varphi(e_1)=e_2-e_3$, $\varphi(e_2)=e_3-e_1$ et $\varphi(e_3)=e_1-e_2$. Déterminer son noyau, son image. Montrer qu'ils sont supplémentaires. Est-ce un projecteur ?
  • (Jean-Michel Rey - 14.3) - Dans $E=\Rd^\Rd$, on considère $F=\{f\in E\;|\;f(0)+f(1)=0\}$ et $G=\{f\in E\;|\; f$ est constante $\}$. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
  • (Mohammed Laadnani - 14.1) - Soient $f$, $g$ dans ${\cal L}(E)$ tels que $f\circ g \circ f = f$ et $g \circ f\circ g = g$. Que dire de $\Ker f+\Im g$? (On montrera en fait que $E=\Ker f \oplus\Im g$).
  • (Mohammed Laadnani - 14.2) - Soient $E$, $F$ deux espaces vectoriels de dimensions finies et $u$, $v$ dans ${\cal L}(E,F)$. Que dire de $dim(\Ker(u+v))$ ? (On pourra montrer qu'elle est inférieure à $dim(\Ker u \cap\Ker v) + dim(\Im u \cap \Im v)$.)
  • (Mohammed Laadnani - 14.3) - Soit $E$ un espace vectoriel et $f$, $g$ dans ${\cal L}(E)$. Trouver $f(\Ker(g\circ f))$. (On pourra montrer que c'est $\Ker g \cap \Im f)$.)
  • (Philippe Skler 14.1) - Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=Id$. Montrer que $ker(f-Id)\oplus Im(f-Id)=E$.
  • (Philippe Skler 14.2) - Soit $E = H \oplus K$ et $(e_1,\dots, e_k)$ une base de $K$. Montrer que pour tout $a \in H$, $K_{a} =\text{vect}(e_1 + a, \dots,e_k + a)$ est un supplémentaire de $H$. Montrer que si $a \ne b$, alors $K_{a} \ne K_{b}$.
  • (Philippe Skler 14.3) - Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$. Montrer que $rg(f)+rg(f^2)\leq dim(E)$.
  • (Véronique Bluteau - 14.1) - Soit $f$ un endomorphismes de $E$ et $g$ la restriction de $f$ à $\Im(f)$. Montrer que $g$ est bijective si et seulement si $\Ker(f)\oplus\Im(f)=E$.
  • (Véronique Bluteau - 14.2) - Soit $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$ vérifiant $p\circ q=q\circ p=0$. Montrer que $p+q$ est un projecteur, $\Im(p+q)=\Im(p)\oplus\Im(q)$ et $\Ker(p+q)=\Ker(p)\cap\Ker(q)$.
  • (Véronique Bluteau - 14.3) - Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer $E=\Ker(f)\oplus\Im(f)\Leftrightarrow \Ker(f^2)\Ker(f)\Leftrightarrow \Im(f^2)=\Im(f)$.