Semaine 17

Semaine 17

  • (Abdelhaq Abdelqari - 17.1.1) - Le nombre $M_n=2^n-1$ est appelé le $n$-ème nombre de Mersenne. Montrer que si $M_n$ est premier alors $n$ est premier.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 17.1.2) - Déterminer le reste de la division euclidienne de $2^{2^n}$ par 7.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 17.2) - On définit la suite de Fibonacci par $U_{0}=0$, $U_{1}=1$ et $U_{n+2}=U_{n+1}+U_n$ pour tout entier naturel $n$. Montrer les propriétés suivantes : $\forall n\in\Nd$, $U_{n+1}^2-U_nU_{n+2}=(-1)^{n}$ ; $\forall n\in\Nd$, $U_n\wedge U_{n+1}=1$ ; $\forall n\geq1$, $\forall p\in\Nd$, $U_{n+p}=U_{n-1}U_{p}+U_{n}U_{p+1}$ ; $\forall (n,p)\in\Nd^2$, $U_{n+p}\wedge U_{n}= U_{n}\wedge U_{p}$ ; $\forall (n,p)\in\Nd^2$, $U_{n}\wedge U_{p}=U_{n\wedge p}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 17.3.1) - Soit $n$ un entier impair. Montrer $n^2\equiv1\bmod8$. Soit $p>3$ un entier premier. Montrer que $p^2-1$ est multiple de 24.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 17.3.2) - Soit $p$ un nombre premier. Montrer que pour tout $k\in[1; p-1]$, $p\choose k$ est divisible par $p$. En déduire que pour tout entier $n\in\Nd$, $n^p-n$ est divisible par $p$.
  • (Anthony Maxilaris - 17.1.1) - Résoudre dans $(\Nd^*)^2$ : $a\wedge b+a\vee b=b+9$.
  • (Anthony Maxilaris - 17.1.2) - Sommes de deux carrés, de trois carrés avec congruences.
  • (Anthony Maxilaris - 17.2) - Soit $p$ un nombre premier. Montrer que, pour $1\le k\le p-1$, $p$ divise $p\choose k$. En déduire que pour tout entier $n$, on a $n^p\equiv n\bmod{p}$ puis que, pour $a$ non multiple de $p$, $a^{p-1}\equiv 1\bmod{p}$.
  • (Anthony Maxilaris - 17.3) - Somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de $4444^{4444}$.
  • (Antoine Pichoff - 17.1) - On se propose de déterminer l'ensemble des triplets $(x,y,z)$ de nombres entiers tels que $x^2+y^2=z^2$ $(*)$. Connaissez-vous un tel exemple ? Montrer qu'il suffit de connaître toutes les solutions où $x$, $y$ et $z$ sont premiers dans leur ensemble. On note $(*)^\prime$ cette condition. Montrer que si $(x,y,z)$ vérifie $(*)^\prime$ alors ils sont premiers deux à deux. Montrer que si $(x,y,z)$ vérifie $(*)^\prime$ alors $x$ ou $y$ est pair, et l'autre est impair. Supposons que $(x,y,z)$ vérifie $(*)^\prime$ et $x$ pair. Montrer que $(z-y)\wedge(z+y)=2$. Montrer qu'il existe $m,n\in\Nd^*$ tels que $x=2mn$, $z-y=2m^2$ et $z+y=2n^2$, $m\lt n$, $m\wedge n=1$. Conclure.
  • (Antoine Pichoff - 17.2) - Le but de cet exercice est l'étude du "petit théorème de Fermat" : $\forall p \in {\cal P}$, $\forall a\in\Nd$, $a^{p-1}\equiv 1 [p]$ où $\cal P$ est l'ensemble des nombres premiers. Considérons $p\in{\cal P}$ et $a\in\Nd$. On notera pour démontrer ce résultat : $\Fd_p^*=\{1,2\dots p-1\}$, $r(b)$ est la reste de la division euclidienne de $b$ par $p$, $\varphi :\Fd_p^*\rightarrow \Fd_p^*$, $k\mapsto r(a^k)$, $G=\varphi(F_p^*)$. Montrer que $\varphi$ est bien une application de $\Fd_p^*$ dans $\Fd_p^*$. Montrer qu'il existe $k\in\Fd_p^*$ tel que $\varphi(k)=1$. Qu'en conclure pour $G$ ? On suppose que $p$ ne divise pas $a$. Montrer que $\psi$ : $\Fd_p^*\rightarrow \Fd_p^*$, $x\mapsto ax$ est bijective. En calculant $\prod_{x\in\Fd_p^*}ax$, de deux façons, montrer que le cardinal de $G$ divise celui de $\Fd_p^*$. Conclure par rapport au théorème de Fermat.
  • (Antoine Pichoff - 17.3.1) - Trouver la plus grande puissance de $10$ qui divise $70!$. Soit $p$ un nombre premier. Soit $n\in\Nd$. Trouver une formule donnant le plus grande puissance $k$ tel que $p^k$ divise $n !$.
  • (Antoine Pichoff - 17.3.2) - Montrer que pour tout entier $n$ $(2n+1)\wedge(2n^2+2n)=1$.
  • (Antoine Pichoff - 17.4.1) - Montrer que pour tout entier $n\geq 2$, $8\mid5^n+2\cdot 3^{n-1}+1$.
  • (Antoine Pichoff - 17.4.2) - Montrer que pour tout entier $k$, le reste dans la division euclidienne de $10^k$ par $9$ est $1$. En déduire qu'un nombre qui s'écrit $a_na_{n-1}\dots a_0$ dans le systéme décimal est divisible par $9$ si et seulement si $\sum_{k=0}^na_k$ est divisible par $9$. Montrer que $a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+ a_0$ est divisible par $X-1$ si et seulement si $\sum_{k=0}^na_k=0$. Quel rapport entre ces deux questions ? Connaissez-vous un critére de divisibilité par $11$ ?
  • (Antoine Pichoff - 17.5.1) - Montrer que pour tout entier $n\in\Zd$, $6$ divise $5n^3+n$.
  • (Antoine Pichoff - 17.5.2) - Quelles sont les définitions de $\Qd$ et $\Dd$. Donner une bijection de $\Dd$ sur $\Nd$. On dit que $\Dd$ est dénombrable. Montrer que tout nombre décimal $\frac{p}{q}$ a un développement décimal périodique. Énoncer une bijection de $\Qd$ sur $\Dd$. En déduire que $\Qd$ est dénombrable. Quelle différence entre $\Rd$ et $\Qd$ ? Que pensez-vous de tout cela ?
  • (Antoine Pichoff - 17.6.1) - Prouver la formule suivante, $\forall n\in \Nd$, : $\sum_{i=1}^n i2^i=(n-1)2^{n+1}+2$. Que valent $\sum_{i=1}^n i3^i $, $\sum_{i=1}^n i4^i $ ?
  • (Antoine Pichoff - 17.6.2) - Pour affranchir des colis postaux on dispose de timbres à $0,56$ et $0,70$ euros uniquement (hypothèse réellement fausse). Quelles sont les valeurs possibles des affranchissements dans ces conditions ? Est-il possible des faire des affranchissements pour $1,40$, $1,50$ et $1,68$ euros ? Quand cela est possible, on dira quelles sont les choix possibles pour les timbres.
  • (Bertrand des Abbayes - 17.1) - Soit $p$ et $q$ des entiers premiers entre eux. Soit $P=\sum_{i=0}^na_iX^i$ dans $\Zd[X]$ de degré $n$ tel que $\alpha=p/q$ en soit une racine. Montrer $q|a_n$.
  • (Bertrand des Abbayes - 17.2) - Soit $a$ et $b$ dans $\Kd$ et $P=X^3+X^2+1$ et $Q=X^2+X+1$ dans $\Kd[X]$. Déterminer $(P-a)\wedge(Q-b)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 17.3) - Soit $P$ et $Q$ deux polynômes de $\Kd[X]$ premiers entre eux. Montrer $(P^2+Q^2)\wedge PQ=1$. Que se passe-t-il si $P\wedge Q\ne1$ ?
  • (Didier Robbes - 17.1) - Soit $(u_n)$ défini par $u_0=1$ et $u_n=nu_{n-1}+(-1)^n$. On pose $\displaystyle P_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}u_{n-k}X^k$. Montrer $(n-1)(u_{n-1}+u_{n-2})=u_n$ et $P_n-nP_{n-1}=(X-1)^n$. Calculer $P_n(X+1)$ et en déduire $\displaystyle u_n/n!=\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$.
  • (Didier Robbes - 17.2) - Montrer que l'application $\Delta$ définie par $P\mapsto P-P(X+1)$ est un endomorphisme de $\Cd[X]$. Montrer $\deg(\Delta(P))\lt\deg(P)$, puis $\displaystyle\Delta^k(P)=(-1)^k\sum_{i=0}^k(-1)^i{k\choose i}P(X+i)$. En déduire que si $P$ est de degré inférieur à $n$, $\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}P(k)=0$.
  • (Didier Robbes - 17.3) - Avec $A=X^n-1$ et $B=X^n-X$, on définit $f$ l'application qui à un polynôme $P$ associe le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$. Montrer que c'est un endomorphisme de $\Rd_{n-1}[X]$ et déterminer ses noyau et image.
  • (Françoise Gillardeau - 17.1.1) - Soit $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls avec $a\geq b$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. A-t-on toujours $a\gt2r$ ?
  • (Françoise Gillardeau - 17.1.2) - Soit $\alpha$ un réel et $n$ dans $\Nd^*$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $(\cos(\alpha)+X\sin(\alpha))^n$ par $X^2+1$.
  • (Françoise Gillardeau - 17.2) - Soit $P$ dans $\Rd[X]$ de degré $n\geq 1$ et unitaire. Montrer $P'|P\Leftrightarrow\exists a\in\Rd$, $P=(X-a)^n$.
  • (Françoise Gillardeau - 17.3.1) - Donner le PGCD de 99099 et 43928, puis donner une relation de Bézout.
  • (Françoise Gillardeau - 17.3.2) - Soit $(n,p)\in\Nd\times\Nd^*$, $q$, $r$ les quotient et reste de la division euclidienne de $n$ par $p$ et $a$ un réel non nul. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^p-a$ est $a^qX^r$.
  • (François Sauvageot - 17.1) - Soit, pour deux entiers naturels $m$ et $n$, $\displaystyle {m+n\choose n}$ et $\displaystyle {2n\choose n}{2m\choose m}$. Comparer ces deux nombres. Montrer ensuite que l'un est un diviseur de l'autre.
  • (François Sauvageot - 17.2) - Soit $d$ un entier naturel distinct de 2, 5 et 13. Montrer qu'on peut trouver deux nombres $a$ et $b$ parmi 2, 5, 13 et $d$ tels que $ab-1$ ne soit pas un carré.
  • (François Sauvageot - 17.3) - Soit, pour $p$ premier et $n$ entier non nul, $v_p(n)$ l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ en facteurs premiers. Pour $x=a/b$ un rationnel non nul, soit $|x|_p=p^{v_p(b)-v_p(a)}$. Montrer que c'est une valeur absolue.
  • (Jacques Paris - 17.1.1) - Soit $a$ et $b$ des entiers. Calculer $(15a+4b)\wedge(11a+3b)$ en fonction $a\wedge b$.
  • (Jacques Paris - 17.1.2) - Montrer que pour tous entiers $a$ et $b$, 3 divise $ab(a^2-b^2)$.
  • (Jacques Paris - 17.2) - Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré d'un nombre impair est 1. Étudier le cas des entiers pairs. Donner le reste de la division par 8 de $a^2+b^2+c^2$ et $2(ab+bc+ca)$ où $a$, $b$ et $c$ sont impairs.
  • (Jacques Paris - 17.3) - Pour $p$ premier, montrer que $p$ divise ${p\choose k}$ lorsque $1\le k\le p-1$.
  • (Jean-Louis Liters - 17.1.1) - Résoudre dans $\Zd$ l'équation : $x+y+1=x\wedge y$.
  • (Jean-Louis Liters - 17.1.2) - Soit $p_n$ le $n$-ème nombre premier. Montrer $p_n\lt 2^{2^n}$.
  • (Jean-Louis Liters - 17.2) - Soit $a$, $b$ et $c$ des entiers naturels non nuls tels que $b$ soit premier à $c!$. Montrer que $c!$ divise $(a+b)(a+2b)\cdots(a+cb)$.
  • (Jean-Louis Liters - 17.3) - Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Montrer que 30 divise $pq(p^4-q^4)$.
  • (Jean-Michel Rey - 17.1) - Soit $a$ et $p$ des entiers supérieurs à 2. Montre que si $a^p-1$ est premier, alors $a=2$ et $p$ est premier.
  • (Jean-Michel Rey - 17.2) - Soit $p$ un nombre premier supérieur à 5. Montrer que 24 divise $p^2-1$.
  • (Jean-Michel Rey - 17.3) - Soit $a$ et $b$ entiers. Montrer $a^2|b^2\Rightarrow a|b$.
  • (Mohammed Laadnani - 17.1) - Soit $E= \left\{4k-1\;|;k\in\Nd^\times\right\}$. Montrer que $\forall n \in E$, il existe $p \in {\mathcal{P}} \cap E$ tel que $p\mid n$. En déduire qu'il y a une infinité de nombre premier $p$ tel que $p = - 1\bmod4$.
  • (Mohammed Laadnani - 17.2) - Résoudre le système : $x=2\bmod{10}$ et $x=5\bmod{13}$.
  • (Mohammed Laadnani - 17.3) - Pour $p \in {\mathcal{P}}$ et $n \in\Zd$, on note $v_p (n)$ l'exposant de la plus grande puissance de $p$ divisant $n$. Montrer que $v_2 (1000!) = 994$. Plus généralement, calculer $v_p (n!)$.
  • (Philippe Skler 17.1) - Soit $U$ et $V$ deux polynômes non constants et premiers entre eux. Soit $P_k=U^kV^{n-k}$.
  • (Philippe Skler 17.2) - Trouver les polynômes $P$ tels que : $\left(P^{\prime}\right)^{2}=4.P$.
  • (Philippe Skler 17.3) - Soit $P$ un polynôme de $\Rd[X]$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $1+P+P^{2}+..+P^{n}$ par $1+P+P^{2}$.
  • (Véronique Bluteau - 17.1) - Trouver tous les entiers $n$ tels que $3n+4|11n+8$. Idem pour $n^2+3n-2|n^2-6$.
  • (Véronique Bluteau - 17.2) - Soit $a$ et $b$ deux entiers supérieurs à 2, premiers entre eux. Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers $(u,v)$ tel que $au-bv=1$, $0\lt u\lt b$ et $0\lt v\le a$.
  • (Véronique Bluteau - 17.3.1) - Démontrer, pour $a$, $b$ et $c$ entiers, $c|ab\Rightarrow c|(a\wedge c)(b\wedge c)$.
  • (Véronique Bluteau - 17.3.2) - Déterminer les couples d'entiers dont la somme est un multiple du produit.