Semaine 19

Semaine 19

  • (Abdelhaq Abdelqari - 19.1.1) - Prouver l'égalité $\cup_{n \geq 1} ]\frac{1}{n},\frac{2}{n}[ = ]0; 1[ \cup ]1; 2[$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 19.1.2) - On considère l'ensemble $ A=\{(-1)^n +\frac{1}{n}\;|\;n \in \Nd^*\}$. Justifier que A admet une borne supérieure et une borne inférieure et les déterminer.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 19.2) - Soit $A$ et $B$ deux parties de $\Rd$ non vides et majorées. Montrer que $\sup A$, $\sup B$ et $\sup (A \cup B)$ existent et $\sup (A \cup B) = \max (\sup A,\sup B)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 19.3.1) - Soit $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\Rd$. On forme $A + B = \left\{ {a + b\;|\;(a,b) \in A \times B} \right\}$. Montrer que $A + B$ est majorée et $\sup (A + B) = \sup A + \sup B$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 19.3.2) - Soit x un nombre réel. Montrer que $ E(x) + E\left(x+\frac{1}{2}\right)=E(2x)$. En déduire la valeur et la limite de $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}E\left(\frac{x+2^{k}}{2^{k+1}}\right)$.
  • (Anthony Maxilaris - 19.1.1) - Soit $(u_n)$ une suite bornée. Étudier la monotonie de $v_n=\sup_{p\geq n}u_p$ et $w_n=\inf_{p\geq n}u_p$.
  • (Anthony Maxilaris - 19.1.2) - Montrer, pour $x$ réel et $n\in\Nd^*$, que $\displaystyle E\left(\frac{E(nx)}n\right)=E(x)$.
  • (Anthony Maxilaris - 19.2) - Montrer que, pour $n\in\Nd$, il existe un entier $p$ tel que $(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n=2p$. En déduire que $E((2+\sqrt3)^n)$ est un entier impair.
  • (Anthony Maxilaris - 19.3.1) - Soit $A=\{(-1)^n+\frac1{n+1}\,|\,n\in\Nd\}$. $A$ est-il borné ? Étudier ses bornes supérieures et inférieures.
  • (Anthony Maxilaris - 19.3.2) - Montrer, pour $x$ et $y$ réels, $E(x)+E(y)\leq E(x+y)\leq E(x)+E(y)+1$.
  • (Antoine Pichoff - 19.1.1) - Quelles sont les bornes supérieure et inférieure dans $\Rd$ de $\left\{a+\frac{(-1)^nb}{n}\;|\; n\in\Nd^*\right\}$.
  • (Antoine Pichoff - 19.1.2) - Soit $x\in\Rd$ et $n\in\Nd^*$, montrer que $E\left(\frac{E(nx)}{n}\right)=E(x)$.
  • (Antoine Pichoff - 19.2.1) - Montrer que $f$ : $]0,1]\rightarrow \Rd$ définie par $x\mapsto (1-x)\sin\frac{\pi}{x}$ est bornée. Atteint-elle ses bornes ?
  • (Antoine Pichoff - 19.2.2) - Déterminer les applications $f$ : $\Rd\rightarrow\Rd$ qui vérifient : $\forall x,y\in\Rd$ $|f(x)-f(y)|=|x-y|$.
  • (Antoine Pichoff - 19.3.1) - Montrer que pour tout entier $n\gt0$, $\displaystyle\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\lt\frac{1}{2\sqrt{n}}\lt\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$. En déduire la partie entière de $\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{10000}}\right)$.
  • (Antoine Pichoff - 19.3.2) - Soit $f$ une fonction majorée et $g$ une fonction bornée, définies sur une partie $X$ de $\Rd$. Montrer que : $\sup_X f+\inf_X g\leq \sup_X(f+g)$.
  • (Antoine Pichoff - 19.4.1) - Quelles sont les bornes supérieure et inférieure dans $\Rd$ de $\left\{\frac{2}{n}+(-1)^n\,,\;n\in\Nd^*\right\}$.
  • (Antoine Pichoff - 19.4.2) - Soit $f$ : $\Rd^2\to \Rd$, on suppose que $f(\Rd^2)$ est une partie majorée de $\Rd$. Justifier que $\forall x\in\Rd$, l'existence de $M_x=\sup_{y\in\Rd}\big(f(x,y)\big)$. Justifier l'existence de $M=\sup_{x\in\Rd} M_x$. Montrer que $M=\sup\Big(f(\Rd^2)\Big)$.
  • (Antoine Pichoff - 19.5) - Soient $a$, $b\in\Rd$. Montrer que $E(a)+E(b)\leq E(a+b)\leq E(a)+E(b)+1$.
  • (Antoine Pichoff - 19.6.1) - Simplifier $\sqrt{a+2\sqrt{a-b}\sqrt{b}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-b}\sqrt{b}}$, avec $a$, $b\in\Rd^+$ et $a\geq b$.
  • (Antoine Pichoff - 19.6.2) - Soit $A$ une partie bornée non vide de $\Rd$. Montrer que $\sup_{(x,y)\in A^2}|x-y|=\sup A-\inf A$.
  • (Bertrand des Abbayes - 19.1) - Soit $A$ une partie de $\Rd$ et $a\not\in A$ vérifiant $a=\sup A$. Montrer $\forall\varepsilon\gt0$, $\exists(x,y)\in A^2$, $0\lt y-x\lt\varepsilon$.
  • (Bertrand des Abbayes - 19.2.1) - Pour $n$ et $p$ entiers, calculer $\displaystyle E\left(\frac{n+p}2\right)+E\left(\frac{n-p+1}2\right)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 19.2.2) - Quelle est la limite de $e^n/\sqrt{n}$ ?
  • (Bertrand des Abbayes - 19.3.1) - Soit $A=\{(-1)^n+\frac1{n+1}\,|\,n\in\Nd\}$. $A$ est-il borné ? Étudier ses bornes supérieures et inférieures.
  • (Bertrand des Abbayes - 19.3.2) - Soit $(u_n)$ une suite telle qu'il existe $k\gt1$ tel que $u_{n+1}\ge ku_n$ et telle que $u_0\gt0$, étudier sa limite.
  • (Didier Robbes - 19.1) - Soit $E$ une partie de $\Qd$ contenant au moins un nombre non nul et stable par différence et par quotient. Montrer $E=\Qd$.
  • (Didier Robbes - 19.2) - Étudier la limite de la suite $u_{n+1}=1+\frac1{u_n}$.
  • (Didier Robbes - 19.3) - Trouver les fonctions de $\Rd$ dans $\Rd$ telles que $\forall x\in\Rd$, $\forall r\in\Qd$, $|f(x)-f(r)|\leq7(x-r)^2$.
  • (Françoise Gillardeau - 19.1) - Montrer, pour $x$ réel et $n\in\Nd^*$, $0\le E(nx)-nE(x)\le n-1$, puis $\displaystyle E\left(\frac{E(nx)}n\right)=E(x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 19.2) - On pose $\{x\}=x-E(x)$. Calculer $\{x\}+\{-x\}$.
  • (Françoise Gillardeau - 19.3) - Démontrer, pour $n\in\Nd$, $\displaystyle E\left(\left(\frac32\right)^n\right)\gt\left(\frac32\right)^n-1+\frac1{2^{n+1}}$.
  • (François Sauvageot - 19.1.1) - Soit $(u_n)$ une suite bornée. Étudier la monotonie de $v_n=\sup_{p\geq n}u_p$ et $w_n=\inf_{p\geq n}u_p$.
  • (François Sauvageot - 19.1.2) - Soit $U_n$ une famille de parties denses dans $\Rd$ telles que, pour tout $x\in U_n$, $\exists\varepsilon\gt0$, $]x-\varepsilon;x+\varepsilon[\subset U_n$. Montrer que l'intersection des $U_n$ est non-vide. (Théorème de Baire)
  • (François Sauvageot - 19.2) - Simplifier, pour $x$ réel et $n\in\Nd^*$, $\displaystyle E\left(\frac{E(nx)}n\right)$.
  • (François Sauvageot - 19.3) - Déterminer $\displaystyle\inf\left\{(x_1+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\;|\;x_1,\ldots,x_n>0\right\}$.
  • (Jacques Paris - 19.1.1) - Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que, pour tous entiers naturels non nuls $n$ et $p$, on ait $0\le u_{n+p}\le\frac{n+p}{np}$. Montrer que $u_n$ tend vers 0.
  • (Jacques Paris - 19.1.2) - Soit $A=\{(-1)^n+\frac1{n+1}\,|\,n\in\Nd\}$. $A$ est-il borné ? Étudier ses bornes supérieures et inférieures.
  • (Jacques Paris - 19.2) - Montrer, pour $x$ et $y$ réels, $E(x)+E(x+y)+E(y)\leq E(2x)+E(2y)$.
  • (Jacques Paris - 19.3.1) - Soit $f$ et $g$ deux fonctions réelles définies sur $E$. On suppose $f$ minorée et $f\le g$. Montrer $\inf f(E)\le \inf g(E)$.
  • (Jacques Paris - 19.3.2) - Montrer, pour $x$ réel et $n\in\Nd^*$, que $\displaystyle E\left(\frac{E(nx)}n\right)=E(x)$.
  • (Jean-Louis Liters - 19.1) - Soit $f$ de $[0;1]$ dans lui-même, croissante. Montrer qu'elle admet un point fixe ($f(a)=a$).
  • (Jean-Louis Liters - 19.2) - Soit $A$ et $B$ deux parties non vides majorées de $\Rd_+$. Quid de $\sup(AB)$ ?
  • (Jean-Louis Liters - 19.3) - Soit $(u_n)_{n\in\Nd^*}$ une suite réelle telle que $\forall (n,p)\in\left(\Nd^*\right)^2$, $\left|u_n+u_p-u_{n+p}\right|\le\frac1{n+p}$. Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique.
  • (Jean-Michel Rey - 19.1) - Soit $A$ et $B$ des parties non vides majorées de $\Rd$. Montrer que $A+B$ admet une borne supérieure et la calculer.
  • (Jean-Michel Rey - 19.2.1) - Montrer que les carrés de nombres rationnels sont denses dans $\Rd_+$.
  • (Jean-Michel Rey - 19.2.2) - Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_{n+1}/u_n$ tend vers $\ell\lt 1$. Montrer que $u_n$ tend vers 0.
  • (Jean-Michel Rey - 19.3.1) - Simplifier $E(x)+E(-x)$.
  • (Jean-Michel Rey - 19.3.2) - Soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites convergentes. Étudier $(\max(u_n,v_n)$ et $(\min(u_n,v_n)$.
  • (Mohammed Laadnani - 19.1.1) - Pour $n\in\Nd$, on pose $f_n(x)=x^n (1 - x)$. Déterminer $\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,1]}f_n (x)$.
  • (Mohammed Laadnani - 19.1.2) - Déterminer $\displaystyle\inf\left\{(x_1+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\;|\;x_1,\ldots,x_n>0\right\}$.
  • (Mohammed Laadnani - 19.1.3) - Soit $(u_n )$ une suite réelle bornée. Pour tout $n\in\Nd$, on pose $w_n=\inf_{p\geq n}u_p $. Étudier la suite $(w_n )$.
  • (Mohammed Laadnani - 19.2) - Pour $x\in\Rd$ et $n\in\Nd^\star$ simplifier $\displaystyle\sum_{k = 0}^{n - 1}E\left(x + \frac{k}{n}\right)$.
  • (Mohammed Laadnani - 19.3.1) - Soit $n\in\Nd^\star$ et $x\in\Rd$. Simplifier $\displaystyle E\left(\frac{E(nx)}{n}\right)$.
  • (Mohammed Laadnani - 19.3.2) - Soit $(u_n )$ une suite réelle bornée. Pour tout $n\in\Nd$, on pose $v_n=\sup_{p\geq n}u_p $. Étudier la suite $(v_n )$.
  • (Philippe Skler 19.1) - Calculer les bornes supérieure et inférieure, si elles existent, de $E=\left\{ \frac{n+m+1}{2m+n+3}\;|\;(n,m)\in\Nd^2\right\}$.
  • (Philippe Skler 19.2) - Montrer, pour $x$ réel et $n\in\Nd^*$, que $\displaystyle E\left(\frac{E(nx)}n\right)=E(x)$.
  • (Philippe Skler 19.3) - Soit $(u_{n})_{n\in\Nd}$, $(v_{n})_{n\in\Nd}$ deux suites réelles à termes strictement positifs telles qu'il existe un entier $n_{0}$ tel que : $\forall n\geq n_{0}$, $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\leq \frac{v_{n+1}}{v_{n}}$. Montrer que si $(v_{n})_{n\in\Nd}$ converge vers 0, alors $(u_{n})_{n\in\Nd}$ également.
  • (Véronique Bluteau - 19.1) - Soit $A$ une partie de $\Rd$, non vide et bornée et $B=\{|x-y|\;,\;(x,y)\in A^2\}$. Démontrer que $B$ est bornée et $\sup(B)=\sup(A)-\inf(A)$.
  • (Véronique Bluteau - 19.2) - Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $E=\{(-1)^na+\frac{b}n\;,\;n\in\Nd^*\}$. Est-il minoré, majoré et déterminer ses bornes inférieure et supérieure si elles existent.
  • (Véronique Bluteau - 19.3) - Soit $A$ et $B$ deux parties de $\Rd$ non vides et bornées. A-t-on $\sup(AB)=\sup(A)\sup(B)$ ? Démontrer que c'est le cas si $A$ et $B$ sont incluses dans $\Rd_+$.