Semaine 20

Semaine 20

  • (Abdelhaq Abdelqari - 20.1.1) - Étudier la suite réelle $(u_n)_{n\in\Nd^*}$ définie par $u_1>0$ et : $\forall n\in\Nd^*$, $\displaystyle u_{n+1}=\frac{\sqrt{nu_n}}{n+1}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 20.1.2) - Montrer que les suites définies, pour $n\geq1$, par: $\displaystyle u_n=\prod_{i=1}^n\left(1+\frac1{k.k!}\right)$ et $\displaystyle v_n=\left(1+\frac{1}{n.n!}\right)u_n$ sont adjacentes.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 20.2.1) - Montrer $\displaystyle \forall k\in\{2,\cdots,n-2\}$, ${n\choose k}\geq\frac{n(n-1)}{2}$. En déduire que la suite de terme général $\displaystyle u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{{n\choose k}}$ converge et déterminer sa limite $\ell$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 20.2.2) - On pose, pour tout entier $n\in\Nd^*$, $\displaystyle u_n=\sqrt{n}-E(\sqrt{n})$. En étudiant les deux sous-suites de termes généraux $u_{n^2}$ et $u_{n^2+2n}$ que peut-on dire de la suite $(u_n)_{n\in\Nd^*}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 20.3.1) - On considère les deux suites réelles $(u_n)_{n\in\Nd}$ et $(v_n)_{n\in\Nd}$ définies par $u_0\gt0$ et $v_0\gt0$ et, pour tout $n\in\Nd$: $\displaystyle u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}2$, $\displaystyle v_{n+1}=\frac{u_n+\sqrt{u_nv_n}+v_n}3$. Montrer qu'elles convergent, ont la même limite et que cette limite $\ell$ vérifie: $u_1\lt\ell\lt v_1$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 20.3.2) - Existe-t-il une suite réelle $(u_n)_{n\in\Nd}$ telle que : $\forall n\in\Nd$, $u_n\in]0;+\infty[$ et $\forall n\in\Nd$, $\displaystyle u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}$ ?
  • (Anthony Maxilaris - 20.1) - Soit $a_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ et $b_n=a_n+\frac1{n.n!}$. Montrer que ces suites sont adjacentes. Montrer que leur limite est irrationnelle.
  • (Anthony Maxilaris - 20.2.1) - Soit $u_n$ tendant vers $\ell$ et $v_n$ tendant vers $\ell'$, avec $\ell\lt\ell'$. Montrer que $u_n\lt v_n$ à partir d'un certain rang.
  • (Anthony Maxilaris - 20.2.2) - Convergence de $s_n=\sum_{k=1}^n\frac1{n^2+k^2}$.
  • (Anthony Maxilaris - 20.3) - Soit $u_n$ telle que $\sqrt[n]{u_n}$ tend vers $\ell$. Que peut-on dire si $\ell\lt1$, $\ell\gt1$, $\ell=1$ ?
  • (Antoine Pichoff - 20.1.1) - On considère la suite $(u_n)_{n\in\Nd^*}$ définie par : $\forall n\in\Nd^*$, $u_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\sqrt{n-1+\sqrt{n}}}}$. Étudier la monotonie de $(u_n)$. Montrer $\forall n\in\Nd^*$, $u_n^2\leq 1+\sqrt{2} u_n$. En déduire que $(u_n)$ converge. Une idée pour la limite ?
  • (Antoine Pichoff - 20.1.2) - Soit $(u_n)$ tel que $\frac{u_n}{1+u_n}$ converge vers $0$, en déduire que $(u_n)$ converge vers $0$.
  • (Antoine Pichoff - 20.2) - Soit $(q_n)_{n\geq 1}$ une suite d'entiers tel que $\forall n\in\Nd^*$, $2\leq q_n\leq q_{n+1}$. Montrer que $\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{\prod_{i=1}^kq_i}\right)_{n\geq 1}$ converge et que sa limite appartient à $]0;1]$. Inversement, montrer que tout réel $x\in]0;1]$ admet un unique développement de cette forme. Que dire de la suite $(q_n)$ lorsque $x$ est rationnel ? Reconnaissez-vous la limite d'un tel développement pour $q_n=n+1$ ?
  • (Antoine Pichoff - 20.3) - On pose $u_n=\frac{96(-1)^n}{(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}$ et $v_n=\sum_{k=1}^nu_k$. Étudier les suites $(v_{2n})$ et $(v_{2n+1})$ et montrer que la suite $(v_n)$ est convergente. Calculer $\ell=\lim (v_n)$ à $10^{-5}$ près.
  • (Antoine Pichoff - 20.4) - Considérons les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $u_0=a$, $v_0=b$ et $\forall n\in\Nd$, $\frac{2}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}$ et $2v_{n+1}=u_n+v_n$ (avec $0\lt a\lt b$). Montrer que ces suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Calculer la limite commune.
  • (Antoine Pichoff - 20.5) - On considère une suite numérique $(u_n)_{n\geq 1}$ qui converge vers un réel $\ell$. Montrer que $\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nu_k\right)_{n\geq 1}$ converge vers $\ell$. Montrer que $\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n{ku_k}\right)_{n\geq 1}$ converge. Quelle est sa limite ?
  • (Antoine Pichoff - 20.6) - On note, pour tout entier $n\geq 1$, $(E_n)$ l'équation $x^n+nx=1$. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution sur $\Rd_+^*$, notée $u_n$. Que valent $u_1$ et $u_2$ ? Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente, la limite est notée $\ell$. Donner un équivalent de $u_n-\ell$.
  • (Bertrand des Abbayes - 20.1.1) - Trouver $a$, $b$ et $c$ tels que $\sqrt[3]{x^3-6x^2}=ax+b+\frac{c}x+o\left(\frac1x\right)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 20.1.2) - Soit $u_n$ tel que, pour tous entiers $k$ et $n$ dans $\Nd^*$, on ait $0\le u_n\le\frac{k}n+\frac1n$. Quelle est la limite de $u_n$ ?
  • (Bertrand des Abbayes - 20.2) - Soit $A=\{(-1)^n+\frac1{n+1}\,|\,n\in\Nd\}$. $A$ est-il borné ? Étudier ses bornes supérieures et inférieures.
  • (Bertrand des Abbayes - 20.3.1) - Soit $A$ une partie de $\Rd$ et $a\not\in A$ vérifiant $a=\sup A$. Montrer $\forall\varepsilon\gt0$, $\exists(x,y)\in A^2$, $0\lt y-x\lt\varepsilon$.
  • (Bertrand des Abbayes - 20.3.2) - Trouver la limite de $\sqrt[n]{n^3+1}$.
  • (Didier Robbes - 20.1) - Soit $a$ et $b$ dans $\Rd$. Étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_1=b$ et, $\forall n\in\Nd^*$, $u_{n+1}=\sqrt{1+au_n}$.
  • (Didier Robbes - 20.2) - Étudier la suite définie par $u_{n+1}=\frac1{u_n^2-u_n+1}$.
  • (Didier Robbes - 20.3) - Étudier la limite de la suite définie par $u_{n+1}=1+\frac1{u_n}$.
  • (Françoise Gillardeau - 20.1) - Soit $\displaystyle u_n=\sum_{k=0}^n\frac1{n\choose k}$. Prouver que $(u_n)$ converge et donner sa limite.
  • (Françoise Gillardeau - 20.2) - Soit $(u_n)$ une suite convergente. On suppose que la suite $s_n$ donnée par $s_n=\sum_{k=0}^nu_k$ converge vers un réel $S$. On pose $v_n=\frac1n\sum_{k=1}^nku_k$. Étudier $\lim v_n$.
  • (Françoise Gillardeau - 20.3) - Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $\ell\in\Rd$. Démontrer que la moyenne arithmétique des $n$ premiers termes converge aussi vers $\ell$.
  • (François Sauvageot - 20.1) - Montrer que $\{n\sqrt2-E(n\sqrt2)\;|\;n\in\Zd\}$ est dense dans $[0;1]$.
  • (François Sauvageot - 20.2) - Soit $x_0\gt\sqrt\alpha\gt1$ et $x_{n+1}=\frac{\alpha+x_n}{1+x_n}=x_n+\frac{\alpha-x_n^2}{1+x_n}$. Montrer que $(x_n)$ converge vers $\sqrt\alpha$.
  • (François Sauvageot - 20.3.1) - On suppose que les suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ vérifient $\lim(u_n^2+u_nv_n+2v_n^2)=0$. Que dire de $(u_n)$ et $(v_n)$ ?
  • (François Sauvageot - 20.3.1) - Soit $(u_n )$ et $(v_n )$ deux suites telles que $0 \leq u_n \leq 1$, $0 \leq v_n \leq 1$ et $u_n v_n \to 1$. Que dire de ces suites ?
  • (Jacques Paris - 20.1.1) - Soit $(u_n)$ une suite réelle croissante telle que $(u_{2n})$ converge. Montrer que $(u_n)$ converge.
  • (Jacques Paris - 20.1.2) - Soit $u_n=\sum_{k=1}^nn/(n^2+k^2)$. Déterminer sa limite par comparaison.
  • (Jacques Paris - 20.2) - Soit $u_n=(1\times3\times\cdots\times(2n-1))/(2\times4\times\cdots\times2n)$. Donner une expression de $u_n$ avec des factorielles et montrer que la suite $(u_n)$ converge.
  • (Jacques Paris - 20.3) - Soit $(u_n)$ une suite strictement positive telle que $u_{n+1}/u_n\to\ell$. Montrer que si $\ell\lt1$, alors $u_n\to0$ et si $\ell\gt1$, alors $u_n\to+\infty$.
  • (Jean-Louis Liters - 20.1) - $E_0=[0;1]$, $E_1$ premier tiers de $E_0$, $E_2$ deuxième tiers de $E_1$ ... $E_n=[a_n;b_n]$. Étude de $(a_n)$ et $(b_n)$.
  • (Jean-Louis Liters - 20.2) - Soit $(u_n)$ une suite croissante. On suppose que la suite $v_n$, formée des moyennes arithmétiques des $(n+1)$ premiers termes, tend vers $\ell$. Étudier $(u_n)$.
  • (Jean-Louis Liters - 20.3) - Soit $(u_n)$ réelle, bornée telle que $\forall n\in\Nd^*$, $u_n\le\frac12(u_{n+1}+u_{n-1})$. Montrer que $(u_{n+1}-u_n)$ converge. Quelle est sa limite ? Montrer que $(u_n)$ converge.
  • (Jean-Michel Rey - 20.1.1) - Que dire d'une suite d'entiers qui converge ?
  • (Jean-Michel Rey - 20.1.2) - Soit $(u_n)$ une suite réelle qui ne diverge pas vers $+\infty$. Montrer que l'on peut en extraire une suite bornée.
  • (Jean-Michel Rey - 20.2.1) - Étude de $(u_n)$ définie par $u_0\gt0$ et $u_{n+1}=u_n+u_n^2$.
  • (Jean-Michel Rey - 20.2.2) - Soit $(u_n)$ telle que $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent. Montrer que $(u_{n})$ converge.
  • (Mohammed Laadnani - 20.1) - Soit $(u_n )$ et $(v_n )$ deux suites réelles telles que $(u_n + v_n )$ et $(u_n - v_n )$ convergent. Montrer que $(u_n )$ et $(v_n )$ convergent.
  • (Mohammed Laadnani - 20.2) - Soit $(u_n )$ et $(v_n )$ deux suites telles que $0 \leq u_n \leq 1$, $0 \leq v_n \leq 1$ et $u_n v_n \to 1$. Que dire de ces suites ?
  • (Mohammed Laadnani - 20.3) - Soit $(u_n )$ et $(v_n )$ deux suites réelles telles que $u_n^2 + u_n v_n + v_n^2 \to 0$. Démontrer que $(u_n )$ et $(v_n )$ convergent vers 0.
  • (Philippe Skler 20.1) - $a$, $b$ étant des réels tels que $a\lt b$, on considère $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par : $u_{0}=a$, $v_{0}=b$ et $\forall n \in\Nd$, $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}}$ et $v_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+v_{n})$. Montrez que ces deux suites sont convergentes (on ne demande pas les limites).
  • (Philippe Skler 20.2) - Soit $(u_{n})_{n\in\Nd}$ une suite réelle à termes strictement positifs, telle que $(\sqrt[n]{u_{n}})_{n\in\Nd}$ converge vers un réel $\ell$. Montrer que, si $\ell<1$ , alors $(u_{n})_{n\in\Nd}$ converge vers 0.
  • (Philippe Skler 20.3) - Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\frac{u_n}{1+ u_n}\rightarrow 0$. Montrer que $(u_n)$ converge vers 0.
  • (Véronique Bluteau - 20.1.1) - Montrer qu'une suite à valeurs entières converge si et seulement si elle est stationnaire.
  • (Véronique Bluteau - 20.1.2) - Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites à termes strictement positifs telles qu'à partir d'un certain rang $a_{n+1}/a_n\le b_{n+1}/b_n$. Démontrer que si $b_n$ tend vers 0, alors $a_n$ aussi et que si $a_n$ diverge vers $+\infty$, $b_n$ aussi.
  • (Véronique Bluteau - 20.2.1) - Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites à valeurs dans $[0;1]$ telles que $\lim u_nv_n=1$. Démontrer qu'elles convergent et donner leur limite.
  • (Véronique Bluteau - 20.2.2) - Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée telle que $2u_{n}\le u_{n+1}+u_{n_1}$. On pose $v_n=u_{n+1}-u_n$. Démontrer que $(v_n)$ converge et déterminer sa limite.
  • (Véronique Bluteau - 20.3) - Soit $(u_n)$ une suite complexe telle que $(u_n^2)$ et $(u_n^3)$ convergent. Montrer que $(u_n)$ converge. L'hypothèse "$(u_n^2)$ converge" est-elle suffisante pour conclure que $(u_n)$ converge ?