Semaine 21

Semaine 21

  • (Abdelhaq Abdelqari - 21.1.1) - Dans les cas suivants étudier la continuité ou proposer un prolongement par continuité de la fonction $f$ : $f$ est la fonction définie par $\displaystyle f(x)=\sin\left(xE\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)$ si $x\neq0$ ; $f$ est la fonction définie par $\displaystyle f(x)=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\ln(x)}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 21.1.2) - Calculer les limites suivantes $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{x^2+x}-e^{2x}}{\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)-1}$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sinh(x))-\sinh(\sin(x))}{x}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 21.2.1) - Déterminer les fonctions $f$ : $\Rd\to\Rd$ vérifiant les deux conditions suivantes : (H1) $f$ continue en 0 et (H2) $\forall x\in\Rd$, $\displaystyle f(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 21.2.2) - Étudier la continuité de la fonction $f$ définie sur $\Rd$ par $f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)} $ où $E(x)$ désigne la partie entière du réel $x$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 21.3.1) - Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos(x)\right)}{\sin(\sin(x))}$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1 +\sin(x)}-\cos(x)}{\arcsin(x)}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 21.3.2) - Soit I un intervalle de $\Rd$, $f$ : $I\to\Rd$ une application. On suppose que $f$ est continue sur $I$ et que $f_{|\Qd\cap I}$ est croissante. Montrer que f est croissante.
  • (Anthony Maxilaris - 21.1.1) - Soit $f$ et $g$ continues de $I$ dans $\Rd$ telles que $\forall x\in I$, $|f(x)=|g(x)|$. Montrer $f=g$ ou $f=-g$.
  • (Anthony Maxilaris - 21.1.2) - Soit $f$ continue de $\Rd$ dans $\Rd$ telle que $\forall x\in\Rd$, $f(2x)=f(x)$. Montrer que $f$ est constante.
  • (Anthony Maxilaris - 21.2) - Montrer que $1_\Qd$ est discontinue en tout point de $\Rd$.
  • (Anthony Maxilaris - 21.3.1) - La fonction $\ln$ est-elle uniformément continue sur $\Rd_+^*$ ? et sur $[1;e]$ ?
  • (Anthony Maxilaris - 21.3.2) - Soit $f$ de $[0;1]$ dans lui-même et continue. Admet-elle un point fixe ?
  • (Antoine Pichoff - 21.1.1) - Soit $f$ : $[a,+\infty[\rightarrow \Rd$. Soit $g$ : $x\mapsto f(x+1)-f(x)$. Supposons que $g$ admet une limite $\ell$ en $+\infty$. Montrer que $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ admet la même limite en $+\infty$. Quel rapport avec le lemme de Cesàro ?
  • (Antoine Pichoff - 21.1.2) - Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x}\tan\left(\frac{x+1}{2x+1}\pi\right)$.
  • (Antoine Pichoff - 21.2.1) - Soit $f$ une application décroissante sur $\Rd_+^*$ telle que $g$ : $x\rightarrow xf(x)$ est croissante et qu'il existe $\alpha\gt0$ tel que $f(\alpha)=0$. Montrer que $f$ est la fonction nulle sur $[\alpha,+\infty[$.
  • (Antoine Pichoff - 21.2.2) - Soit $(x_n)$ une suite qui tend vers $1$. Calculer $\lim(2^{x_n}+3^{x_n}-4)^{\tan (\pi x_n/2)}$.
  • (Antoine Pichoff - 21.3.1) - Soit $f$ : $\Rd\rightarrow \Rd$ tel que $f(0)=1$ et $\forall x\in\Rd^*$, $f(x)=x\times E\left( \frac{1}{x}\right)$. $f$ est-elle continue ?
  • (Antoine Pichoff - 21.3.2) - Trouver toutes les fonctions $f$ : $\Rd_+^*\rightarrow \Rd_+^*$ telle que $\forall x,y\in\Rd_+^*$ : $f\big(xf(y)\big)=yf(x)$ et $\lim_{+\infty}f=0$.
  • (Antoine Pichoff - 21.4) - On considère une suite numérique $(u_n)_{n\geq 1}$ qui converge vers un réel $\ell$. Montrer que $\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nu_k\right)_{n\geq 1}$ converge vers $\ell$. (On pourra commencer par étudier le cas $\ell=0$.) Montrer que $\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n{ku_k}\right)_{n\geq 1}$ converge. Quelle est sa limite ?
  • (Antoine Pichoff - 21.5.1) - Montrer que $f$ : $x\mapsto\cos\frac{1}{x}$ n'admet pas de limite en $0$.
  • (Antoine Pichoff - 21.5.2) - Soit $f$ une application définie sur une partie $\mathcal{D}$ de $\Rd$. Montrer que $f$ admet une limite en $a\in\overline{D}$ si et seulement si $\forall\epsilon$, $\forall U\in\mathcal{V}(a)$, $\forall x,y\in U\cap \mathcal{D}$, $|f(x)-f(y)|\leq \epsilon$. Quel nom peut-on donner à ce critère de convergence ?
  • (Antoine Pichoff - 21.6) - Soit $a\in\Rd$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=a$ et $\forall n\in\Nd$, $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$. On pose $\forall n\in\Nd$, $v_n=\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}$. Exprimer pour $n\in\Nd$, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ et de $v_0$. Donner un équivalent de $(u_n-\sqrt{a})$.
  • (Bertrand des Abbayes - 21.1) - Soit $f$ continue de $\Rd_+$ dans lui-même telle que $\lim_{x\to+\infty}f(x)/x=\ell$ avec $0\le\ell\lt1$, montrer qu'il existe $a$ dans $\Rd_+$ vérifiant $f(a)=a$.
  • (Bertrand des Abbayes - 21.2) - Étudier la continuité en 0 de $x\mapsto \sin(1/x)$, si $x\ne0$, et $0\mapsto 0$.
  • (Bertrand des Abbayes - 21.3) - Soit $(u_n)$ une suite réelle supérieure à 1 vérifiant $\forall n\in\Nd^*$, $u_n-\ln(u_n)=n$. Montrer $u_n=n+\ln(n)+\frac{\ln(n)}n+o\left(\frac{\ln(n)}n\right)$.
  • (Didier Robbes - 21.1) - Étudier $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $(u_0,v_0)\in(\Rd_+^*)^2$ et $u_{n+1}=(u_n+v_n)/2$, $v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}$.
  • (Didier Robbes - 21.2) - Montrer $\forall k\in\Nd$, $\exists! x_k\in\Rd_+^*$, $x_k+\ln(x_k)=k$ puis $\exists(a,b,c)\in\Rd^3$, $x_k=ak+b\ln(k)+c\ln(k)/k+o(\ln(k)/k)$.
  • (Didier Robbes - 21.3) - Trouver les fonctions $f$ de $\Rd$ dans lui-même telles que $\forall x\in\Rd$, $\forall r\in\Qd$, $|f(x)-f(r)|\le 7(x-r)^2$.
  • (Françoise Gillardeau - 21.1.1) - Soit $(u_n)$ une suite réelle décroissante telle que $\lim u_n=0$ et $u_n+u_{n+1}\sim\frac1n$. Démontrer $u_n\sim\frac2n$.
  • (Françoise Gillardeau - 21.1.2) - Soit $f$ et $g$ continues en $a$. Démontrer que $\sup(f,g)$ est continue en $a$.
  • (Françoise Gillardeau - 21.2) - Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues de l'intervalle $I$ dans $\Rd$ telles que $\forall x\in I$, $(f(x))^2=(g(x))^2\ne0$. Démontrer que $f=g$ ou $f=-g$.
  • (Françoise Gillardeau - 21.3) - Soit $f$ continue sur $[0;1]$ tel que $f(0)=f(1)$. Démontrer $\forall n\ge1$, $\exists x_n\in[0;1]$ tel que $f(x_n)=f\left(x_n+\frac1n\right)$.
  • (François Sauvageot - 21) - On trace un triangle équilatéral ainsi que la hauteur issue du sommet de l'angle droit. Montrer que ce dessin démontre le théorème de Pythagore. On repère un réel de $[0;1[$ par une suite de 1 et de 0, correspondant à une succession de dichotomies (par exemple $1001...$ correspond à des réels compris entre $1/2$ et $1/2+1/16=17/16$). À un tel $t=1001...$, on associe le point $x(t)$ obtenu ainsi : on trace la hauteur issue de l'angle droit et on considère le plus grand des deux petits triangles si on a affaire à un 1 et le plus petit des deux si on a affaire à un 0. Montrer que la fonction $t\mapsto x(t)$ est continue et surjective de $[0;1]$ dans le triangle initial. En déduire une construction du mouvement brownien .... (poisson d'avril !).
  • (Jacques Paris - 21.1) - Démontrer $\sum_{k=1}^nk!\sim n!$.
  • (Jacques Paris - 21.2) - Soit $S_n=\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}$. Montrer $1/\sqrt{n+1}\le2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\le1/sqrt{n}$. En déduire la limite de $S_n$. Montrer que $u_n=S_n-2\sqrt{n}$ converge et donner un équivalent simple de $S_n$.
  • (Jacques Paris - 21.3) - Montrer $\forall k\in\Nd$, $\exists! x_k\in\Rd_+^*$, $x_k+\ln(x_k)=k$, montrer que $x_k$ diverge vers $+\infty$ et en donner un équivalent simple.
  • (Jean-Louis Liters - 21.1) - Développement asymptotique à l'ordre 1 de $(\cosh n)^{1/n}$.
  • (Jean-Louis Liters - 21.2) - Soit $\displaystyle u_n(a)=\left(1+\frac{a}n\right)^n$. Chercher équivalent de $u_n(a+b)-u_n(a)u_n(b)$.
  • (Jean-Michel Rey - 21.1) - Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues de l'intervalle $I$ dans $\Rd$ telles que $\forall x\in I$, $|f(x)|=|g(x)|\ne0$. Que dire ?
  • (Jean-Michel Rey - 21.2) - Soit $f$ et $g$ continues de $[a;b]$ dans $\Rd$ telles que $\forall x\in[a;b]$, $f(x)\gt g(x)$. Montrer qu'il existe $\lambda$ strictement positif tel que $\forall x\in[a;b]$, $f(x)\gt g(x)+\lambda$.
  • (Jean-Michel Rey - 21.3) - Soit $f$ de $\Rd_+$ dans $\Rd$ continue tendant vers $\ell$ en l'infini. Montrer que $f$ est bornée et que l'une au moins de ses bornes est atteinte.
  • (Mohammed Laadnani - 21.1) - Trouver un équivalent simple de la suite $(u_n )$ définie par : $u_n = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}$.
  • (Mohammed Laadnani - 21.2.1) - Trouver un équivalent simple de la suite $(u_n )$ définie par: $u_n = \sqrt {\ln (n + 1) - \ln (n)} $.
  • (Mohammed Laadnani - 21.2.2) - Soit $(u_n )$ une suite décroissante de réels telle que $u_n + u_{n + 1} \sim \frac{1}{n}$. Montrer que $(u_n )$ converge vers $0^+$.
  • (Mohammed Laadnani - 21.3) - Trouver un équivalent simple de la suite $(u_n )$ définie par : $u_n = \sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} $. Idem pour $u_n = 1 - \cos \frac{1}{n}$ .
  • (Philippe Skler 21.1) - Trouver les fonctions $f$ continues en $0$ définies sur $\Rd$ telles que pour tout $x$ réel, $f(2x)=f(x)$.
  • (Philippe Skler 21.2) - Soit $f$ : $[0,+\infty[\rightarrow\Rd$ une fonction continue ayant une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée.
  • (Philippe Skler 21.3) - Soit $f$ : $\left[0,1\right]\rightarrow\Rd$ une fonction telle que $f(0)\geq0$ et $f(1)\leq0$. On suppose qu'il existe une fonction $g$ continue sur $[0;1]$ telle que $f+g$ soit croissante sur $[0;1]$. Montrer : $\exists x_0\in[0;1]$, $f(x_0)=0$.
  • (Véronique Bluteau - 21.1) - Démontrer $\sum_{k=1}^nk!\sim n!$.
  • (Véronique Bluteau - 21.2) - Soit $f$ de $\Rd_+$ dans $\Rd$ croissante. Démontrer que $f$ est continue en 0 si et seulement si $f(1/n)\to f(0)$.