Semaine 22

Semaine 22

  • (Abdelhaq Abdelqari - 22.1.1) - Soit $f$ : $[0; 1]\rightarrow[0; 1]$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)$. Montrer que l'équation $f\left(x+\frac{1}{2}\right) = f(x)$ possède au moins une racine. Montrer que pour tout entier $n\geq2$, l'équation $f\left(x+\frac{1}{n}\right)=f(x)$ au moins une racine.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 22.1.2) - Déterminer l'ensemble des applications $f$ : $\Rd\rightarrow\Rd$ continues en 0 et telle que $\forall (x,y)\in\Rd^2$, $f\left(\frac{x+y}{2}\right)= \frac{f(x)+f(y)}{2}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 22.2) - Soit $f$ : $\Rd_+\rightarrow\Rd$ une fonction continue. On suppose qu'il existe $\ell\in\Rd$ tel que $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell$. Montrer que f est bornée sur $\Rd_+$ et qu'elle y est uniformément continue.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 22.3.1) - Soit $F$ : $[0;1] \rightarrow\Rd$ une application continue telle que $\forall x\in [0;1]$, $f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x+1}{2}\right)=3f(x)$. Montrer que $f=0$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 22.3.2) - Soit $I$ un intervalle de $\Rd$, $f$ : $I\rightarrow\Rd$ une application. On suppose que $f$ est continue sur $I$ et que $f_{|\Qd\cap I}$ est croissante. Montrer que f est croissante.
  • (Anthony Maxilaris - 22.1) - Soit $f$ et $g$ de $[0;1]$ dans $\Rd$ continues. On pose $\varphi(t)=\sup_{x\in[0;1]}(f(x)-tg(x))$. Montrer que $\varphi$ est bien définie sur $\Rd$ et qu'elle y est lipschitzienne.
  • (Anthony Maxilaris - 22.2) - Soit $f$ de $\Rd$ dans lui-même continue. On suppose que tout réel $y$ admet au plus deux antécédents par $f$. Montrer qu'il existe $y$ réel possédant exactement un antécédent.
  • (Anthony Maxilaris - 22.3) - Soit $f$ de $[0;1[$ dans $\Rd$ uniformément continue. Montrer que $f$ est bornée.
  • (Antoine Pichoff - 22.1) - Pour tout segment $[a,b]$ de $\Rd$, on note $sub([a,b])$ l'ensemble des subdivisions $\sigma$ de $[a,b]$. Soit $f$ une application de $[a,b]$ dans $\Rd$. Pour tout subdivision $\sigma=(x_0=a\lt x_1\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b)$ on note $Var_\sigma(f)=\sum_{i=0}^{n-1} |f(x_{i+1})-f(x_i)|$. On dit que $f$ est à variations bornées, s'il existe $M$ tel que $\forall\sigma\in sub([a,b])$, $Var_\sigma(f)\leq M$. Montrer que $f$ : $\displaystyle x\mapsto x\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ n'est pas à variations bornées sur $[0,1]$ bien que continue. Si $f$ est à variations bornées, on note $\displaystyle I_a^b=\sup_{\sigma\in sub([a,b])}\left(Var_{\sigma}(f)\right)$. Montrer que si $g$ est de classe $C^1$, alors $g$ est à variations bornées et $\displaystyle I_a^b g=\int_a^b|g^\prime(t)|dt$. Montrer que $f$ est à variations bornées si et seulement s'il existe $g$ et $h$ deux fonctions croissantes sur $[a,b]$ tel que $f=g-h$. Montrer que si $f$ est à variations bornées, $f$ est réglée.
  • (Antoine Pichoff - 22.2) - On note $\Ud=\{z\in\Cd\;|\;|z|=1\}$. Soit $f$ : $\Ud\rightarrow \Rd$ continue. Qu'est-ce que cela signifie ? En considérant $g$ : $z\mapsto f(z)-f(-z)$, montrer qu'il existe des points diamétralement opposés de $\Ud$ ayant la même image par $f$.
  • (Antoine Pichoff - 22.3.1) - Soit $f$ : $\Rd_+\rightarrow \Rd$ uniformément continue sur $\Rd_+$. Montrer qu'il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $\forall x\in\Rd_+$, $|f(x)|\leq \alpha x+\beta$.
  • (Antoine Pichoff - 22.3.2) - Soit $f$ : $[a,b]\rightarrow \Rd$, continue et $g$ : $[a,b]\rightarrow \Rd$ intégrable et positive. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\displaystyle \int_a^b f(t)g(t)dt=f(c)\int_a^bg(t)dt$.
  • (Antoine Pichoff - 22.4.1) - Montrer que toute fonction continue, décroissante de $\Rd$ sur $\Rd$ admet un point fixe. Que se passe-t-il si $f$ n'est pas décroissante ?
  • (Antoine Pichoff - 22.4.2) - Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels tel que $\lim(u_n-u_{n+1})=0$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est un intervalle compact (ou fermé ici) de $\Rd$.
  • (Antoine Pichoff - 22.5.1) - Montrer que toute fonction continue de $[0,1]$ sur $[0,1]$ admet un point fixe.
  • (Antoine Pichoff - 22.5.2) - Soit $f\in C^0([0,1],\Rd_+^*)$. Pour $n\in\Nd^*$, établir l'existence de $(a_{n,0},\dots a_{n,n})\in\Rd^{n+1}$ tel que : $0=a_{n,0}\lt a_{n,1}\lt \cdots\lt a_{n,n}=1$ et $\displaystyle \forall i\in\{0,1,\dots,n-1\}$, $\int_{a_{n,i}}^{a_{n,i+1}}f=\frac{1}{n}\int_0^1 f$. Déterminer la limite, quand $n\rightarrow +\infty$, de $\displaystyle \frac{1}{n+1}(a_{n,0}+ a_{n,1}+\dots +a_{n,n})$.
  • (Antoine Pichoff - 22.6.1) - Soit $f$ : $[a,b]\rightarrow [a,b]$ tel que $\forall x,y\in[a,b]$, $(x\neq y)$, $|f(x)-f(y)|\lt|x-y|$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe noté $\alpha$. Soit $x_0\in[a,b]$. Soit $(x_n)$ tel que $\forall n\in\Nd$, $x_{n+1}=f(x_n)$. Montrer que $(x_n)$ converge vers $\alpha$.
  • (Antoine Pichoff - 22.6.2) - Soit $f$ : $\Rd\rightarrow \Rd$, convexe et majorée sur $\Rd$. Montrer que $f$ est constante. Le résultat reste-t-il valable si l'on remplace $\Rd$ par $\Rd_+$ ?
  • (Bertrand des Abbayes - 22.1.1) - Soit $f$ une fonction continue de $\Rd_+$ dans lui-même et $\ell$ dans $[0;1[$ tels que $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\ell$. Montrer que $f$ s'annule.
  • (Bertrand des Abbayes - 22.1.2) - Montrer $\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\sim\ln(x)$ en $+\infty$.
  • (Bertrand des Abbayes - 22.2) - Déterminer la limite de $(x+1)\ln(x)-x\ln(x+1)$ en $+\infty$.
  • (Bertrand des Abbayes - 22.3) - Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\lim(u_{n+1}-u_n)=\ell\in\Rd$. Montrer $\lim(u_n/n)=\ell$.
  • (Didier Robbes - 22.1.1) - Un marcheur parcourt 12km en une heure (mais pas à vitesse constante), montrer qu'il y a un intervalle d'une demi-heure où il a parcouru exactement 6km.
  • (Didier Robbes - 22.1.2) - Trouver les fonctions continues de $\Rd$ dans lui-même telles que $\forall (x,y)\in\Rd^2$, $xf(y)+yf(x)=xyf(x)f(y)$.
  • (Didier Robbes - 22.2.1) - Montrer que si une fonction continue sur $\Rd_+$ admet une limite finie en $+\infty$, alors elle y est uniformément continue.
  • (Didier Robbes - 22.2.2.) - Soit $f$ continue à valeurs réelles, telle que $\lim_{x\to+\infty}(f(x+1)-f(x))$ existe et est finie. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}f(x)/x$ existe et lui est égale.
  • (Didier Robbes - 22.3) - Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a;b]$. Montrer que $f'$ prend toutes les valeurs entre $f'(a)$ et $f'(b)$. On pourra étudier $g(x)=f(x)-\lambda x$. Application : montrer $\forall y\in[-1;1]$, $\exists x\in\Rd$, $2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos(x)=y$.
  • (Françoise Gillardeau - 22.1) - Soit $f$ : $[0; 1]\rightarrow[0; 1]$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)$. Montrer que pour tout entier $n\geq2$, il existe $x_n$ dans $[0;1]$ tel que $f\left(x_n+\frac{1}{n}\right)=f(x_n)$. On commencera par faire un schéma.
  • (Françoise Gillardeau - 22.2) - Les fonctions $x\mapsto\sqrt{x}$ sur $[0;1]$ et $x\mapsto \sqrt{x}\sin(x)$ sur $\Rd_+$ sont-elles uniformément continues ?
  • (Françoise Gillardeau - 22.3) - Soit $f$ continue de $\Rd$ dans lui-même admettant des limites finies en $\pm\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
  • (François Sauvageot - 22.1) - Soit $f$ continue sur $[0;1[$ et admettant une limite en $1$. Montrer qu'elle est uniformément continue sur $[0;1[$. Étudier la réciproque.
  • (François Sauvageot - 22.2) - Montrer que l'équation, pour $n\ge2$, $x^n-nx+1=0$ admet deux solutions strictement positives vérifiant $0\lt\alpha_n\le1\le\beta_n$.
  • (François Sauvageot - 22.3) - Soit $f$ définie sur $]0;1]$ par $f(x)=\sqrt{x}\left(2+\sin\left(\frac1x\right)\right)$. Montrer qu'elle est prolongeable par continuité en 0 et exhiber $\eta$ tel que $\forall (x,y)\in]0;1]^2$, $|x-y|\le\eta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\le10^{-2}$.
  • (Jacques Paris - 22.1) - Soit $f\in C^0(\Rd_+,\Rd_+)$ telle que $\lim_{x\to+\infty}f(x)/x=\ell\lt1$. Montrer que $f$ a un point fixe.
  • (Jacques Paris - 22.2) - Soit $f$ et $g$ de $\Rd$ dans lui-même, avec $f$ bornée et $g$ continue. Montrer que $f\circ g$ et $g\circ f$ sont bornées.
  • (Jacques Paris - 22.3.1) - Soit $f$ continue de $[a;b]$ dans $\Rd$ et $p$ et $q$ deux réels positifs. Montrer $\exists c\in[a;b]$, $pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c)$.
  • (Jacques Paris - 22.3.2) - Montrer que $x\mapsto x\ln(x)$ est uniformément continue sur $]0;1]$.
  • (Jean-Louis Liters - 22.1) - Soit $f$ continue de $\Rd$ dans lui-même et $([a_n;b_n])_{n\in\Nd}$ une suite décroissante de segments. Montrer $f\left(\cap_{n\in\Nd}[a_n;b_n]\right)=\cap_{n\in\Nd}f([a_n;b_n])$.
  • (Jean-Louis Liters - 22.2) - Soit $f$ : $[0; 1]\rightarrow[0; 1]$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)$. Montrer que pour tout entier $n\geq2$, il existe $x_n$ dans $[0;1]$ tel que $f\left(x_n+\frac{1}{n}\right)=f(x_n)$.
  • (Jean-Louis Liters - 22.3) - Soit $f$ continue de $\Rd_+$ dans $\Rd$ ayant une limite nulle en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
  • (Jean-Michel Rey - 22.1) - Soit $f$ de $\Rd$ dans $\Rd$ continue et telle que la restriction de $f$ à $\Qd$ est croissante. Montrer que $f$ est croissante.
  • (Jean-Michel Rey - 22.2) - Trouver les fonctions $f$ de $\Rd_+$ dans $\Rd$, continues en 0 et 1 telles que $\forall x\in\Rd_+$, $f(x)=f(x^2)$.
  • (Jean-Michel Rey - 22.3) - Soit $f$ de $\Rd$ dans $\Rd$ continue et $I_n=[a_n;b_n]$ une famille de segments telle que $\forall n\in\Nd$, $I_{n+1}\subset I_n$. Montrer $\displaystyle f\left(\cap_{n\in\Nd}I_n\right)=\cap_{n\in\Nd}f(I_n)$.
  • (Mohammed Laadnani - 22.1) - Soit $f$ : $\Rd\to\Rd$ continue telle que : $\lim_{+\infty}f=\lim_{-\infty}f=+\infty$. Montrer que $f$ admet un minimum absolu.
  • (Mohammed Laadnani - 22.2) - Montrer que $x\mapsto\sqrt x$ est uniformément continue sur $\Rd_+$.
  • (Mohammed Laadnani - 22.3) - Soit $f$ : $\Rd\to\Rd$ continue et décroissante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
  • (Philippe Skler 22.1) - Soit $f$ continue de $[0;1]$ dans lui-même. Montrer $\forall n\in\Nd^*$, $\exists a_n\in[0;1]$, $f(a_n)=a_n^n$. On suppose de plus $f$ strictement décroissante. Montrer que pour chaque $n$, $a_n$ est unique et étudier $(a_n)$.
  • (Philippe Skler 22.2) - Trouver $f$ continue de $[0;1]$ dans lui-même telle que $f\circ f=f$.
  • (Philippe Skler 22.3) - Trouver $f$ continue telle que $\forall x\in\Rd$, $f(2x)=f(x)\cos(x)$
  • (Véronique Bluteau - 22.1) - Soit $f$ continue sur $\Rd_+$ telle que $\forall x\in\Rd_+^*$, $0\lt f(x)\lt x$. Montrer : $\forall 0\lt a\lt b$, $\exists M\in]0;1[$, $\forall x\in[a;b]$, $f(x)\le Mx$.
  • (Véronique Bluteau - 22.2) - Soit $f\in C^0(\Rd_+,\Rd_+)$ telle que $\lim_{x\to+\infty}f(x)/x=\ell\lt1$. Montrer que $f$ a un point fixe.
  • (Véronique Bluteau - 22.3) - Soit $f$ continue de $[0;1]$ dans lui-même. Montrer $\forall n\in\Nd^*$, $\exists a_n\in[0;1]$, $f(a_n)=a_n^n$. On suppose de plus $f$ strictement décroissante. Montrer que pour chaque $n$, $a_n$ est unique et étudier $(a_n)$.