Semaine 23

Semaine 23

  • (Abdelhaq Abdelqari - 23.1) - On définit les suites u et v par $u_n=\sum_{p=0}^n\frac1{p!}$ et $v_n=(1+ \frac1n)^n$, $n\in\Nd^*$. Démontrer que u converge. On note $e$ sa limite. Soit $n\in\Nd^*$. Justifier $u_n=\sum_{p=0}^nT_n^p$ avec $\displaystyle T_n^p=\frac{1}{n^p}{n\choose p}$ pour $p=0,...,n$. Donner $T_n^0$, $T_n^1$ et $T_n^n$. Si $n\geq 2$, exprimer $T_n^p$ sous forme d'un produit, pour $p=2,...,n$. Démontrer pour $0\leq p \leq n$, $\displaystyle T_n^p\leq \frac{1}{p!}$ et $T_n^p\leq T_{n + 1}^p$. En déduire la convergence de v.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 23.2) - Démontrer, pour tout entier $n\geq 1$, l'existence d'une unique solution réelle $u_n\geq 0$ de l'équation $x^{n}+x^{n-1}+ ...+x-1=0$. Démontrer que la suite u est décroissante. En déduire la convergence de la suite u et montrer que pour tout $ n\geq 2$, $\displaystyle \frac{1}{2} \leq u_n \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2} < 1$. Démontrer que pour tout entier $n\geq 1$, $u_{n}^{n+1}-2u_{n}+1 =0$. Établir que la suite u converge vers $1/2$. Démontrer que $n(u_n-1/2)$ tend vers 0.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 23.3) - Soit $x=(x_{n})_{n\geq 1}$ une suite complexe. La moyenne de Césaro de x est la suite c définie pour tout $n\geq 1$ par $\displaystyle c_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} $. Démontrer que si la suite x converge vers $\ell\in\Cd$, alors c converge aussi vers $\ell$. En déduire alors que, si $\ell$ n'est pas nul, $\sum_{k=1}^n x_{k}\sim n\ell$. La convergence de c implique-t-elle celle de x? Démontrer que si la suite x tend vers $+\infty$ alors c tend vers $+\infty$. Qu'en est-il si x tend vers $-\infty$ ? Dans le cas d'une suite x monotone, démontrer que la convergence de la moyenne de Césaro implique celle de la suite x.
  • (Anthony Maxilaris - 23.1) - Soit $f$ de $[0;1]$ dans $\Rd$, dérivable et telle que $f(0)=f(1)=f'(0)=0$. Montrer qu'il existe une tangente (autre que celle en 0) qui passe par 0.
  • (Anthony Maxilaris - 23.2) - Soit $f$ dérivable de $\Rd_+$ dans $\Rd$ telle que $\lim_{x\to+\infty}f'=\ell\in\Rd$. Montrer $\lim_{x\to+\infty}f(x)/x=\ell$.
  • (Anthony Maxilaris - 23.3) - Soit $f$ de $\Rd$ dans $\Rd$ dérivable et nulle en 0. Calculer la limite pour $n$ tendant vers $+\infty$ de $\sum_{k=0}^nf(k/n^2)$.
  • (Antoine Pichoff - 23.1) - Soit $f$ : $[0,1]\rightarrow \Rd$ continue. Soit $(u_n)$, la suite telle que $\forall n\in\Nd^*$, $\displaystyle u_n=\left(\int_0^1\left|f(t)\right|^ndt\right)^{1/n}$. Déterminer $\lim(u_n)$.
  • (Antoine Pichoff - 23.2) - On pose $\displaystyle P_n=\frac{1}{2^nn!}\frac{\partial ^n}{\partial x^n}\left((x^2-1)^n\right)$. Montrer que $P_n$ est un polynôme de degré $n$, pair ou impair suivant la parité de $n$. On appelle cette famille de polynômes, les polynômes de Legendre. Montrer que $P_n(1)=1$, en déduire la valeur de $P_n(-1)$. Montrer que pour tout $n$, $m$ dans $\Nd$, $\displaystyle\int_{-1}^1P_n(t)P_m(t)dt=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}$. En déduire que pour tout polynôme $p$ de degré inférieur strictement à $n$, $\int_{-1}^1p(t)P_n(t)dt=0$. Conclure que $P_n$ admet $n$ zéros distincts entre $-1$ et $1$. On pourra considérer $p=\prod(X-x_i)$ où $x_i$ sont les racines d'ordre impair de $P_n$.
  • (Antoine Pichoff - 23.3.1) - Soit $f$ : $\Rd\rightarrow\Rd$, convexe et majorée sur $\Rd$. Montrer que $f$ est constante. Le résultat reste-t-il valable si l'on remplace $\Rd$ par $\Rd^+$ ?
  • (Antoine Pichoff - 23.3.2) - Montrer que la suite $(u_n)$ définie par : $\forall n\in\Nd^*$, $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ converge et calculer sa limite $\ell$.
  • (Antoine Pichoff - 23.4.1) - La fonction $f$ : $\displaystyle x\mapsto\frac{x}{1+|x|}$ est-elle dérivable sur $\Rd$ ? Connaissez-vous des fonctions dérivables $n$ fois mais qui ne sont pas de classe $C^n$ ?
  • (Antoine Pichoff - 23.4.2) - Soient $n\in\Nd^*$ et $x_1$, $x_2\dots x_n\in\Rd_+^*$. Montrer $\displaystyle\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}\leq \sqrt[n]{x_1\times x_2\dots \times x_n}\leq \dfrac{x_1+x_2+\dots x_n}{n}$. En déduire : $\displaystyle\frac{3}{\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}}\leq \dfrac{1}{2}\lim_{X\rightarrow +\infty}\int_0^{X}\frac{dt}{\sqrt{(a^2+t)(b^2+t)(c^2+t)}}\leq \frac{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}}{3}$.
  • (Antoine Pichoff - 23.5) - Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\Rd$. Soit $x$ et $h$ dans $\Rd$. Montrer qu'il existe $\theta\in]0,1[$ tel que $f(x)-2f(x+h)+f(x+2h)=h^2f"(x+2\theta h)$.
  • (Antoine Pichoff - 23.6) - Soit $f$ une application définie et dérivable sur $\Rd_+^*$ telle que $f^\prime(x)$ tende vers $0$ en $+\infty$. Montrer que $\displaystyle\frac{f(x)}{x}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ où $a>0$.
  • (Bertrand des Abbayes - 23.1) - Calculer la limite pour $n$ tendant vers l'infini de $\displaystyle\int_0^2\frac{2t+3}{t+2}e^{t/n}dt$.
  • (Bertrand des Abbayes - 23.2) - Soit $f\in C^1([0;1])$, nulle en 0. Montrer $\int_{[0;1]}f^2\le\int_{[0;1]}\left(f^\prime\right)^2$.
  • (Bertrand des Abbayes - 23.3) - Soit $f$ un $C^1$-difféomorphisme de $[0;a]$ dans $[0;b]$. Montrer que, pour tout $x$ dans $[0;a]$, on a $\int_{[0;x]}f+\int_{[0,f(x)]}f^{-1}=xf(x)$.
  • (Didier Robbes - 23.1) - Déterminer $f$ continue de $[0;1]$ dans lui-même telle que $\int_{[0;1]}f=\int_{[0;1]}f^2$.
  • (Didier Robbes - 23.2.1) - Soit $f$ dérivable sur $[1;2]$ telle que $f(1)=f(2)=0$. Montrer que l'on peut mener par l'origine une tangente au graphe de $f$.
  • (Didier Robbes - 23.2.2) - Trouver les fonctions $f$ et $g$ continues sur $\Rd$, dérivables en 0 telles que, pour $x$ réel, $f(2x)=2f(x)$ et $g(2x)=g(x)^2$.
  • (Didier Robbes - 23.3.1) - Un marcheur parcourt 12km en une heure (mais pas à vitesse constante), montrer qu'il y a un intervalle d'une demi-heure où il a parcouru exactement 6km.
  • (Didier Robbes - 23.3.2) - Trouver les fonctions continues de $\Rd$ dans lui-même telles que $\forall (x,y)\in\Rd^2$, $xf(y)+yf(x)=xyf(x)f(y)$.
  • (Françoise Gillardeau - 23.1.1) - Résoudre l'équation différentielle $4y"-4y'+y=\exp(2x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 23.1.2) - Soit $f\in C^2([a;b])\cap D^3(]a;b[)$. Démontrer qu'il existe $c$ dans $]a;b[$ tel que $\displaystyle f(b)=f(a)+\frac{b-a}2(f^\prime(a)+f^\prime(b))-\frac{(b-a)^3}{12}f^{[3]}(c)$.
  • (Françoise Gillardeau - 23.2.1) - Soit $f$ et $g$ continues de $[0;1]$ dans $\Rd$ telle que $f(0)=g(1)=0$ et $f(1)=g(0)=1$. Démontrer $\forall\lambda\in\Rd_+$, $\exists x\in[0;1]$, $f(x)=\lambda g(x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 23.2.2) - Démontrer que $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{n+k}{n^2+k}$ converge et donner sa limite.
  • (Françoise Gillardeau - 23.3.1) - Résoudre l'équation différentielle $(1+x^2)y'=y\arctan(x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 23.3.2) - Soit $f\in D^1([a;b])$ telle que $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)>0$ et $f'(b)>0$. Démontrer qu'il existe $c_1$, $c_2$ et $c_3$ dans $]a;b[$ tels que $c_1\lt c_2\lt c_3$, $f(c_2)=0$, $f'(c_1)=f'(c_3)=0$. On commencera par un dessin.
  • (Françoise Gillardeau - 23.3.3) - Ensemble de définition et dérivabilité de $\arccos(4x^3-3x)$. Calcul de la dérivée.
  • (François Sauvageot - 23.1.1) - Si $\int_{[a;b]}|f|=\left|\int_{[a;b]}f\right|$, alors $f$ est de signe constant sur $[a;b]$.
  • (François Sauvageot - 23.1.2) - Trouver toutes les fonctions $f$ continues de $[0;1]$ dans lui-même telles que $\int_{[0;1]}f=\int_{[0;1]}f^2$.
  • (François Sauvageot - 23.2) - Montrer que la suite définie par $\displaystyle u_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(x)dx$ est décroissante et minorée. Montrer de plus qu'on a $\displaystyle u_n\le\frac{\pi}2\left(1-\frac1{\sqrt{n}}\right)^n+ \frac{\pi}2-\arcsin\left(1-\frac1{\sqrt{n}}\right)$ et déterminer la limite de $(u_n)$.
  • (François Sauvageot - 23.3.1) - Soit $f$ et $g$ continues par morceaux de $[0;1]$ dans $\Rd_+$ telles que $fg\ge1$. Montrer $\displaystyle\int_{[0;1]}f\int_{[0;1]}g\ge1$.
  • (François Sauvageot - 23.3.2) - Étudier les infimum et minimum de la quantité $\displaystyle\int_a^bf\times\int_a^b\frac1f$ pour $f$ variant dans l'ensemble $C^0([a;b];\Rd^*_+)$.
  • (Jacques Paris - 23.1.1) - Soit $f$ : $\left[0;1\right]\to\Rd$ continue telle que $\int_{[0;1]}f=1/2$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
  • (Jacques Paris - 23.1.2) - Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels. Montrer $\exists x\in]0;1[$, $4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c$.
  • (Jacques Paris - 23.2.1) - Soit $f$ continue de $[0;1]$ dans $\Rd_+$. Montrer $\left(\int_{[0;1]]}\sqrt{f}\right)^2\le\int_{[0;1]}f$.
  • (Jacques Paris - 23.2.2) - Soit $f$ dérivable de $\Rd$ dans lui-même, telle que $f'$ ne s'annule pas. Montrer que $f$ ne peut pas être périodique.
  • (Jacques Paris - 23.3) - Soit $f$ dérivable de $\Rd$ dans lui-même. Montrer $\forall x\in\Rd_+^*$, $\exists c\in\Rd_+^*$, $f(x)-f(-x)=x(f'(c)+f'(-c))$.
  • (Jean-Michel Rey - 23.1) - Étude de $\displaystyle x\mapsto\int_x^{2x}\frac{dt}{\ln(1+t)}$ sur $\Rd_+^*$, parité, variations, limites aux bornes.
  • (Jean-Michel Rey - 23.2) - Calculer $\displaystyle \lim_{x\to0\atop x\gt0}\int_x^{2x}\frac{e^tdt}t$.
  • (Jean-Michel Rey - 23.3) - Étudier $f$ de $\Rd_+^*$ dans $\Rd$ définie par $\displaystyle \int_0^1\frac{e^tdt}{t+x}$.
  • (Mohammed Laadnani - 23.1.1) - Soit $f$ : $\left[0;1\right]\to\Rd$ continue telle que $\int_{[0;1]}f=1/2$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
  • (Mohammed Laadnani - 23.1.2) - Soit $f$ : $\Rd\to\Rd$ de classe $C^1$ et $F:$ $\Rd^\star\to\Rd$ définie par $\forall x \ne 0$, $\displaystyle F(x)=\frac{1}{2x}\int_{- x}^x f(t)dt$. Montrer que $F$ peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce prolongement : montrer que $F$ est dérivable sur $\Rd^\star$ et exprimer $F'(x)$ à l'aide d'une intégrale.
  • (Mohammed Laadnani - 23.2.1) - Soit $f$ : $\left[a;b\right]\to\Rd$ une fonction continue. Montrer : $\exists c \in \left]a;b\right[$, $\displaystyle\frac1{b-a}\int_{[a;b]}f= f(c)$.
  • (Mohammed Laadnani - 23.2.2) - Soit $f$ : $\left[a;b\right]\to\Rd$ de classe $C^1$. Pour $n\in\Nd$ on pose : $I_n=\int_a^b f(t)\sin(nt)dt$. Montrer $I_n\to0$.
  • (Mohammed Laadnani - 23.3.1) - Soit $f$ : $\Rd\to\Rd$ continue et $T\gt0$. On suppose $\int_{[x;x+T]}f$ indépendant de $x$. Montrer que $f$ est périodique.
  • (Mohammed Laadnani - 23.3.2) - Soit $f$ : $\left[0;1\right]\to\Rd$ continue. On définit $F$ : $\left[0;1\right]\to\Rd$ par $F(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)dt$. $F$ est-elle de classe $C^1$ ? de classe $C^2$ ?
  • (Philippe Skler 23.1) - Soit $f$ une fonction définie sur $[a,b]$ de classe $C^2$. Montrer que $\displaystyle\int_{t=a}^b f(t)\,dt = (b-a)\frac {f(a)+f(b)}2+ \int_{t=a}^b \frac {(t-a)(t-b)}2f''(t)\,dt$. Application : Soit $f$ une fonction définie sur $[a,b]$, $I = \int_{t=a}^b f(t)\,dt$, et $I_n$ la valeur approchée de $I$ obtenue par la méthode des trapèzes avec $n$ intervalles. Montrer que $\displaystyle|I-I_n| \le \frac {\sup|f''| (b-a)^3}{12n^2}$.
  • (Philippe Skler 23.2.1) - Soit $f\in C^0\left(\left[0,1\right],\Rd\right)$ telle que $\int_0^1f^2=\int_0^1f^3=\int_0^1f^4$. Montrer que $f=0$ ou $f=1$.
  • (Philippe Skler 23.2.2) - Calcul de $\inf\lbrace \int_{[0,1]} f \int_{[0,1]} \frac{1}{f},\quad f\gt0\rbrace$.
  • (Philippe Skler 23.3) - Soit $f$ définie sur $[0,2\pi]$ convexe de classe $C^2$. Quel est le signe de $I = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\cos t\,dt$.
  • (Véronique Bluteau - 23.1) - Soit $f$ continue sur $\Rd_+$, dérivable sur $\Rd_+^*$, nulle en 0 et croissante sur $\Rd_+$. Montrer que $x\mapsto f(x)/x$ est croissante sur $\Rd_+^*$.
  • (Véronique Bluteau - 23.2) - Soit $f\in D^1([a;b])$ telle que $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)>0$ et $f'(b)>0$. Démontrer qu'il existe $c_1$, $c_2$ et $c_3$ dans $]a;b[$ tels que $c_1\lt c_2\lt c_3$, $f(c_2)=0$, $f'(c_1)=f'(c_3)=0$.
  • (Véronique Bluteau - 23.3) - Soit $f$ continue de $[0;1]$ dans lui-même. Montrer $\forall n\in\Nd^*$, $\exists a_n\in[0;1]$, $f(a_n)=a_n^n$. On suppose de plus $f$ strictement décroissante. Montrer que $a_n$ est unique et étudier la suite $(a_n)$.