Semaine 24

Semaine 24

  • (Abdelhaq Abdelqari - 24.1) - Donner un $DL_3 (1)$ de $\displaystyle\frac{e^x}{1+x^2}$ et un $DL_4(+\infty)$ de $\displaystyle\sqrt{1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)} - \cos\left(\frac{1}{x}\right)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 24.2) - Intégrer l'équation différentielle $\displaystyle y'\ln(x)+\frac{y}{x}+1=0$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 24.3) - Donner un $DL_3 (0)$ de $\displaystyle\cosh\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right)$ et un $DL_2(\pi/6)$ de $\displaystyle\arcsin\left(\sqrt{3}\sin(x)\right)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 24.4) - Intégrer l'équation différentielle $(1-x^2)y'+(2x+1)y=1$. Y-a-t-il une solution définie sur $\Rd$ ?
  • (Abdelhaq Abdelqari - 24.5) - Donner un $ DL_3(0)$ de $\displaystyle\ln(2 + \sin(x))$ et un $DL_4(0)$ de $\displaystyle\arccos\left(\frac{x}{1+e^x}\right)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 24.6) - Résoudre l'équation différentielle $y"+y'+e^{-2x}y=3\cosh(x)+\sinh(x)$. On pourra poser le changement de variable $t=e^{-x}$.
  • (Anthony Maxilaris - 24.1.1) - $DL_3(0)$ de $x\mapsto (1+x^2)/(3+x)$.
  • (Anthony Maxilaris - 24.1.2) - Montrer qu'il existe $f$ continue de $[0;2]$ dans $[0;1]$ telle que, pour $x$ dans $[0;2]$, $f^5(x)+f(x)=x$.
  • (Anthony Maxilaris - 24.2.1) - $DL_9(0)$ de $\sin^6(x)$.
  • (Anthony Maxilaris - 24.2.2) - Montrer $\exists M\gt0$, $\forall n\in\Nd^*$, $\forall x\in\Rd$ $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^n\frac{\arctan(kx)}{k(k+1)}\right|\le M$.
  • (Anthony Maxilaris - 24.3) - $DL_1(0)$ de $(1+\sin(x))^{1/x}$.
  • (Antoine Pichoff - 24.1) - On note, pour tout entier $n$, $f_n$ : $]n,+\infty[\rightarrow \Rd$, $\displaystyle x\mapsto \sum_{k=1}^n\frac{1}{x-k}$. Soit $\alpha\gt0$. Montrer que pour tout $n\in\Nd^*$, $\exists! x_n\gt n$ tel que $f_n(x_n)=\alpha$. Montrer que pour tout $\lambda\gt1$, $\displaystyle0\leq f_n(n\lambda)-\ln\left(\frac{\lambda}{\lambda-1}\right)\leq \frac{1}{n\lambda}-\frac{1}{n(\lambda-1)}$. En déduire que $\displaystyle x_n\sim \frac{ne^\alpha}{e^\alpha-1}$.
  • (Antoine Pichoff - 24.2.1) - Soient $p$, $q\in\Rd_+^*$ tels que $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Soient $a$ et $b\gt0$. Montrer $\displaystyle\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\leq ab$.
  • (Antoine Pichoff - 24.2.2) - Soit $f$, $g$ : $[a,b]\rightarrow \Rd$ deux applications continues sur $[a,b]$ dérivables sur $]a,b[$. On note $\Delta$ : $[a,b]\rightarrow \Rd$, $x\mapsto \det\big((f(a),g(a),1),(f(b),g(b),1),(f(x),g(x),1)\big)$. Montrer que $\Delta$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et exprimer $\Delta^{\prime}(x)$ sous forme de déterminant. En déduire qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $(g(a)-g(b))f^{\prime}(c)=(f(a)-f(b))g^{\prime}(c)$.
  • (Antoine Pichoff - 24.3) - On dit que $x=0,20220002101220a_{15}\dots$ est une représentation en base $3$ de $x$ si $x$ est la limite de la suite $\displaystyle2\frac{1}{3}+0\frac{1}{9}+2\frac{1}{27}+\dots a_{15}\frac{1}{3^{15}}\dots$ avec $a_{15}\in\{0,1,2\}$. Écrire plus formellement cette définition, montrer que tout réel $x$ de $[0,1]$ admet un développement en base $3$ et que réciproquement, la donnée d'une liste de nombres de $\{0,1,2\}$ permet de définir parfaitement un nombre de $[0,1]$. Calculer le développement en base $3$ de $2/3$, $1/2$, $1/5$. Quels nombres ont pour développement $0,222222222222\dots$ et $0,012012012012\dots$ ? Soit $f$ : $x\mapsto y$ où $y$ est obtenue par le développement en base $2$ associé à la suite obtenue en transformant la suite des valeurs de développement en base $3$ de $x$ en supprimant les chiffres suivant le premier $1$ et en transformant tous les $2$ de la suite en des $1$. Ainsi avec le nombre $x$ donné en exemple, $f(x)$ a pour développement en base $2$ : $0,101100011$. Calculer $f(x)$ pour $x\in[1/3,2/3]$. Montrer que $f$ est continue et croissante. Montrer que $f$ est différentiable sur un ensemble "assez gros". Que vaut sa dérivée.
  • (Antoine Pichoff - 24.4) - Soit $\gamma$ : $[a,b]\rightarrow \Cd$ de classe $C^1$ telle que $\gamma(a)=\gamma(b)$ et $\forall t\in[a,b]$, $\gamma(t)\neq0$. Démontrer $\displaystyle\frac{1}{2i\pi}\int_a^b\frac{\gamma^{\prime}(t)}{\gamma(t)}dt\in\Zd$. (On pourra considérer $f$ : $\displaystyle x\mapsto \int_a^x\frac{\gamma^{\prime}(t)}{\gamma(t)}dt$.
  • (Antoine Pichoff - 24.5) - Soit $f$ : $[a,b]\rightarrow \Cd$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (1) $\displaystyle\left|\int_a^bf\right|=\int_a^b \left|f\right|$ et (2) $\exists\omega\in \Ud$ et $g$ : $[a,b]\rightarrow \Rd_+$ continues telles que $f=\omega g$.
  • (Antoine Pichoff - 24.6) - Soient $n\in\Nd$. Soit $f$ : $[0,1]\rightarrow \Rd$ dérivable telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $n+1$ éléments $c_0$, $c_1$, $c_2\dots c_n$ de $[0,1]$ tels que : $c_0\lt c_1\lt c_2\lt\dots\lt c_n$ et pour tout $k$, $f(c_k)=\frac{k}{n}$. Montrer qu'il existe $n$ éléments $x_1$, $x_2\dots x_n$ de $[0,1]$ tels que : $c_0\lt x_1\lt c_1\lt x_2\lt \dots \lt x_n\lt c_n$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{f^{\prime}(x_k)}=n$. Calculer $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}(x_k-x_{k-1})$.
  • (Bertrand des Abbayes - 24.1) - Soit $g_n$ définie par $n^2x/|x|$ pour $0\lt|x|\lt1/n$ et 0 sinon. Pour $f$ de classe $C^2$ sur $\Rd$, montrer que $u_n=\int_{[-1;1]}fg_n$ tend vers $f'(0)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 24.2) - Soit $P$ un polynôme de degré à coefficients complexes, de coefficient dominant $a$. Montrer $\displaystyle\sup_{z\in\Ud}|P(z)|\ge |a|$. On pourra considérer $\int_{[0;2\pi]}P(e^{it})e^{-int}dt$.
  • (Bertrand des Abbayes - 24.3) - Calculer $\displaystyle\lim_{+\infty}\int_0^2\frac{2t+3}{t+2}e^{t/n}dt$.
  • (Didier Robbes - 24.1) - Soit $f\in C^2(\Rd,\Rd)$ telle que $\exists (A,B)\in\Rd_+^2$, $\forall x\in\Rd$, $|f(x)|\le A$ et $|f"(x)|\le B$. Montrer $\exists C\in\Rd_+$, $\forall x\in\Rd$, $|f'(x)|\le C$. Montrer qu'on peut prendre $C=\sqrt{2AB}$.
  • (Didier Robbes - 24.2) - Soit $f\in C^1([0;a],\Rd)$ telle que $f(0)=0$. Montrer $\displaystyle\int_{[0;a]}|ff'|\le\frac{a}2\int_{[0;a]}f^{\prime 2}$.
  • (Didier Robbes - 24.3) - Soit $f\in C^2([0;1])$ telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer $\exists\alpha\in[0;1]$, $f"(\alpha)\ge4$. On pourra considérer $g(x)=f(1-x)-f(x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 24.1) - Utiliser des développements limités à un ordre convenable pour étudier la position relative, au voisinage de leur point d'abscisse 0, les courbes définies par $\displaystyle x\mapsto\frac{2+x}{2-x}$, $\displaystyle x\mapsto\frac{12+6x+x^2}{12-6x+x^2}$ et $x\mapsto\exp(x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 24.2) - $DL_4(0)$ de $\ln(1+x+\sqrt{1+x})$ et de $\displaystyle\arctan\left(\frac{\sqrt3+x}{1+x\sqrt3}\right)$.
  • (Françoise Gillardeau - 24.3) - A l'aide d'équivalents étudier $\displaystyle\lim_{x\to e}(\ln(x)-1)\ln(x-e)$ et $\displaystyle\lim_{x\to\pi/6}\left(\tan\left(\frac{3x}2\right)\right)^{\tan(3x)}$.
  • (François Sauvageot - 24.1) - Soit, pour $x\in\Rd$ et $n\in\Nd$, $\displaystyle u_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$. Montrer $\lim_{n\to+\infty}u_n(x)=\exp(x)$. Montrer de plus que, pour $x\ge0$, $u_n(x)$ est croissante et que, pour $x\lt0$, $\forall n\in\Nd$ $u_{2n+1}(x)\le\exp(x)\le u_{2n}(x)$.
  • (François Sauvageot - 24.2) - Soit $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k}$. Montrer $u_n\to\ln(2)$, en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral.
  • (François Sauvageot - 24.3.1) - Démontrer $\exp(x)\ge1+x$ pour $x\in\Rd$, $\ln(1+x)\ge x-x^2/2$ pour $x\gt-1$ et $\cos(x)\ge1-x^2/2$ pour $0\le x\le\pi/2$, grâce à la formule de Taylor-Lagrange.
  • (François Sauvageot - 24.3.2) - Montrer qu'une fonction convexe sur $\Rd$ et majorée est constante.
  • (Jacques Paris - 24.1) -
  • (Jacques Paris - 24.2) -
  • (Jacques Paris - 24.3) -
  • (Jean-Michel Rey - 24.1) - Résoudre $(1-x^2)y'-2xy=x^2$ sur $]-1;1[$ et $1;+\infty[$. Recollement en 1 ?
  • (Jean-Michel Rey - 24.2) - Soit $g$ continue de $[0;1]$ dans $\Rd$. Trouver les fonctions $f$ deux fois dérivables sur $[0;1]$ telles que $f"=g$, $f(0)=f(1)=0$.
  • (Jean-Michel Rey - 24.3) - Résoudre $y"-y=|x|$ sur $\Rd$.
  • (Mohammed Laadnani - 24.1.1) - Soit $f$ : $[a;b]\to\Rd$ dérivable vérifiant $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)\gt 0$ et $f'(b)\gt0$. Montrer qu'il existe $c_1$, $c_2$, $c_3\in]a;b[$ tels que $c_1\lt c_2\lt c_3$ et $f'(c_1)=f(c_2)=f'(c_3)=0$.
  • (Mohammed Laadnani - 24.1.2) - Soit $f$ : $x\mapsto(x + 1)\exp(1/x)$ définie sur $\Rd_+^{\star}$. Recherche d'une droite asymptote en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.
  • (Mohammed Laadnani - 24.2) - Soit $f$ : $\Rd\to\Rd$ dérivable telle que $\lim_{-\infty}f=\lim_{+\infty}f=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in\Rd$ tel que $f'(c)=0$.
  • (Mohammed Laadnani - 24.3.1) - Soient $n\in\Nd$, $a\lt b\in\Rd$ et $f$ : $[a;b]\to\Rd$ une fonction $n$ fois dérivable. Montrer que si $f(a)=f'(a)=\ldots=f^{(n - 1)} (a) =0$ et $f(b)=0$ alors il existe $c\in]a;b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
  • (Mohammed Laadnani - 24.3.2) - Soit $f$ : $\Rd\to\Rd$ définie par $\displaystyle f(x)= \left\{\begin{array}{ll}\exp(-1/x^2)&\text{si }x \ne 0\\0&\text{sinon.}\end{array}\right.$ Étudier la continuité et la dérivabilité en $0$ puis montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ et que pour tout $n\in\Nd$, $f^{(n)}(0)=0$.
  • (Philippe Skler 24.1) - DL d'ordre 4 en 0 de $\displaystyle\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2(x)}$.
  • (Philippe Skler 24.2) - Simplifier $\arccos(1-2x^2)$, en donner un équivalent en 0. En déduire un équivalent de $\arccos(u)$ en $1$.
  • (Philippe Skler 24.3) - Trouver $(a, b)\in\Rd^2$ tels que $\displaystyle\sin(x) -\frac{x + ax^3}{1 + bx^2}$ soit infiniment petit d'ordre maximal en 0.
  • (Véronique Bluteau - 24.1) - Soit $f$ définie pour $0\lt|x|\lt\pi$ par $\displaystyle f(x)=\frac1{\sin^2(x)}-\frac1{x^2}$. Montrer que $f$ se prolonge par continuité en 0 et étudier la dérivabilité de ce prolongement en 0. Est-il de classe $C^1$ ?
  • (Véronique Bluteau - 24.2) - $DL_3(\pi/3)$ de $\arctan(2\sin(x))$.
  • (Véronique Bluteau - 24.3) - Montrer que $f$ définie sur $\Rd_+$ par $f(1)=1/3$ et $f(x)=\ln(x)/(x^3-1)$ si $x\ne1$ est de classe $C^1$.