Semaine 25

Semaine 25

  • (Abdelhaq Abdelqari - 25.1) -
  • (Abdelhaq Abdelqari - 25.2) -
  • (Abdelhaq Abdelqari - 25.3) -
  • (Anthony Maxilaris - 25.1) - Soit $f$ un $C^1$-difféomorphisme croissant de $[0;1]$ dans lui même et $n$ dans $\Nd^*$. Montrer qu'il existe $(x_{k,n})_{1\le k\le n}$ tel que, pour $1\le k\le n$, $\displaystyle\frac{k-1}n\le f(x_{k,n})\le\frac{k}n$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{f'(x_{k,n}}=n$.
  • (Anthony Maxilaris - 25.2) - Soit $f$ de $]-1;+\infty[$ dans $\Rd$ donnée par $f(x)=\ln(1+x)/(1+x)$. Trouver un intervalle ouvert $I$ contenant 0 le plus grand possible tel que $f$ soit un $C^\infty$-difféomorphisme de $I$ dans $I$. Montrer que les coefficients du développement limité de $f^{-1}$ en 0 sont positifs.
  • (Anthony Maxilaris - 25.3) - A l'aide de la formule de Taylor, montrer $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k+1}\to\ln(2)$.
  • (Antoine Pichoff - 25.1) -
  • (Antoine Pichoff - 25.2) -
  • (Antoine Pichoff - 25.3) -
  • (Antoine Pichoff - 25.4) -
  • (Antoine Pichoff - 25.5) -
  • (Antoine Pichoff - 25.6) -
  • (Bertrand des Abbayes - 25.1.1) - Soit $f$ de $\Rd_+^*$ dans $]0;1[$ telle que, pour $x\in\Rd_+^*$, $\displaystyle\sinh(x)=x+\frac{x^3}6\cosh(xf(x))$. Quelle est la limite de $f$ en 0 ?
  • (Bertrand des Abbayes - 25.1.2) - Développement limité d'ordre $n$ en 0 de $\exp(-1/x^2)$ (prolongée par 0 en 0).
  • (Bertrand des Abbayes - 25.2) - Soit $n$ dans $\Nd^*$ et $u_n$ tel que $u_n-\ln(u_n)=n$. Montrer $u_n=n+\ln(n)+\ln(n)/n+o(\ln(n)/n)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 25.3) - Développement limité d'ordre $5$ en 0 de $\arctan((a+x)/(1-ax))$ pour $a$ réel.
  • (Didier Robbes - 25.1) - Montrer $\forall y\in[-1;1]$, $\exists x\in\Rd$ $2x\sin(1/x)-\cos(y)=y$.
  • (Didier Robbes - 25.2) - Soit $f$ dérivable sur $[1;2]$ telle que $f(1)=f(2)=0$. Montrer que l'on peut mener par l'origine une tangente au graphe de $f$.
  • (Didier Robbes - 25.3) - Soit $f$ de classe $C^2$ sur $[0;1]$ telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer $\exists\alpha\in[0;1]$, $|f"(\alpha)|\ge4$. On pourra utiliser $g(x)=f(1-x)-f(x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 25.1) -
  • (Françoise Gillardeau - 25.2) -
  • (Françoise Gillardeau - 25.3) -
  • (François Sauvageot - 25.1) - Développée de la parabole $y=x^2$.
  • (François Sauvageot - 25.2) - Trouver les sommets (i.e. les extrema de la courbure) de la courbe $y=\exp(x)$.
  • (François Sauvageot - 25.3) - Raccorder $y=ax^2+bx+c$ et $y=\sin(x)$ en $(\pi/2;1)$ de sorte que les courbes aient même tangente et même courbure.
  • (Jacques Paris - 25.1) -
  • (Jacques Paris - 25.2) -
  • (Jacques Paris - 25.3) -
  • (Jean-Louis Liters - 25.1) - Nature du point stationnaire de $(2t+t^2,2t-1/t^2)$.
  • (Jean-Louis Liters - 25.2) - Nature du point stationnaire de $(\exp(t-1)-t,t^3-3t)$.
  • (Jean-Louis Liters - 25.3) - Nature du point stationnaire de $(\cos(t)+at^3/6,\sin(t)-t+t^2/2)$ pour $a$ réel fixé.
  • (Jean-Michel Rey - 25.1) -
  • (Jean-Michel Rey - 25.2) -
  • (Jean-Michel Rey - 25.3) -
  • (Mohammed Laadnani - 25.1.1) - Soient $a$ et $b$ deux réels strictement supérieurs à 1. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}2\right)^n$.
  • (Mohammed Laadnani - 25.1.2) - Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty }\left(3\sqrt[n]{2}-2\sqrt[n]{3}\right)^n$.
  • (Mohammed Laadnani - 25.2) - Soit $f$ : $\left]0;1\right[\cup\left]1;+\infty\right[\to\Rd$ l'application définie par $f(x)=\int_x^{x^2 }\frac{dt}{\ln t}$. Montrer que $\lim_{x\to1^+}f(x)=\ln 2$. De même, établir : $\lim_{x\to1^-}f(x)=\ln 2$. On prolonge $f$ par continuité en 1, en posant $f(1)=\ln2$. Montrer que $f$ ainsi prolongée est de classe $C^1$ sur $\left]0;+\infty\right[$.
  • (Mohammed Laadnani - 25.3) - Soit $f$ : $\Rd\to\Rd$ définie par $f(x)=\exp(-1/x^2)$ si $x\ne0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ et que pour tout $n\in\Nd$, $f^{(n)}(0)=0$.
  • (Philippe Skler 25.1) - Longueur de l'arc entre 0 et le point de rebroussement de la courbe $t\mapsto(2t^3+3t^2,3t^2+6t)$.
  • (Philippe Skler 25.2) - Étude complète de $t\mapsto(t^2-\frac{2}{t},t+\frac{1}{t})$.
  • (Philippe Skler 25.3) - Déterminer les points d'inflexions de x = sin t cos 2t, y = cos t sin 2t.