Colles

2009-2010

Semaine Question de cours possibles Exercices
07/06-11/06
  • Propriétés de l'adjonction : $(f^*)^*$, $(g\circ f)^*$, $(f+g)^*$, $(\lambda f)^*$
  • Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ou son orthogonal : définition, relations $||p(x)||\le||x||$ et $||x-p(x)||\le||x-y||$, pour $x\in E$ et $y\in F$, et cas d'égalité. Cas d'une droite ou d'un hyperplan.
  • Procédé d'orthogonalisation (et d'orthonormalisation) de Gram-Schmidt
  • Pour $u$ et $v$ distincts, non nuls et de même norme, existence et unicité d'une réflexion échangeant $u$ et $v$. $O(E)$ est engendré par les réflexions et tout endomorphisme orthogonal est produit d'au plus $n$ réflexions.
  • Les endomorphismes orthogonaux indirects du plan sont des symétries orthogonales
  • $SO(P)$ est un groupe abélien, la matrice d'une rotation est $A$ ou ${}^tA$ selon qu'elle est écrite dans une base directe ou indirecte.
  • Écriture d'une rotation comme produit de deux symétries, $s\circ r\circ s=r^{-1}$ et $r^{-1}\circ s_D\circ r=s_{r^{-1}(D)}$.
 Géométrie I-II-III
31/05-04/06
  • Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
  • Suites homographiques : cas de deux points fixes distincts
  • Équivalence des normes sur $\mathbb R^n$ (on admet qu'une boule unité est compacte et qu'une fonction continue sur un compact atteint ses bornes)
  • Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité
  • Théorème de représentation de Riesz
 Géométrie I-II
24/05-28/05
  • Allure locale (formule de Taylor-Young) suivant la parité de $p=\inf\{k\ge1,f^{(k)}(a)\ne0\}$ et $q=\inf\{k\ge1,\det(f^{(p)}(a),f^{(k)}(a))\ne0\}$.
  • Formules de Frenet : $dT/ds=\gamma N$, $dN/ds=-\gamma T$, $\gamma=d\alpha/ds$. Existence de $\alpha$ tel que $T(t)=\exp(i\alpha(t))$.
  • Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
  • Suites homographiques : cas de deux points fixes distincts
  • Recherche de solutions d'équations numériques : exposé des méthodes de dichotomie et de fausse position, éléments qualitatifs pour les critères et les vitesses de convergence (une démonstration complète n'est pas exigée)
 Analyse I-VII
17/05-21/05
  • Théorème de Darboux (la dérivée d'une fonction dans $D^1$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires)
  • Caractérisation de la (dé)croissance, de la (dé)croissance stricte pour les fonctions dérivables.
  • Allure locale (formule de Taylor-Young) suivant la parité de $p=\inf\{k\ge1,f^{(k)}(a)\ne0\}$ et $q=\inf\{k\ge1,\det(f^{(p)}(a),f^{(k)}(a))\ne0\}$.
  • Formules de Frenet : $dT/ds=\gamma N$, $dN/ds=-\gamma T$, $\gamma=d\alpha/ds$. Existence de $\alpha$ tel que $T(t)=\exp(i\alpha(t))$.
 Analyse I-VII
03/05-07/05
  • Inégalité de la moyenne pour $f$ à valeurs complexes
  • Inégalité des accroissements finis pour $f$ à valeurs complexes
  • Formule de Taylor-Lagrange pour $f$ à valeurs réelles
  • Formule de Taylor-Young pour $f$ à valeurs complexes
  • Théorème de Rolle généralisé sur $]a;b[$ avec $-\infty\le a\lt b\le+\infty$
 Analyse I-VI
26/04-30/04
  • Inégalité de Cauchy-Schwarz (Bunyakowski)
  • Théorèmes de la moyenne (Cauchy)
  • Intégrale des fonctions continues positives ($\int_If=0\Leftrightarrow f=0$)
  • Trois définitions de la dérivée (Cauchy, Weierstrass, Carathéodory), équivalence d'icelles
  • Théorème de Rolle (Bonnet)
  • Théorème de Lagrange (accroissements finis)
  • Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral
 Analyse I-V
05/04-09/04
  • Théorème de Bolzano : image d'un intervalle par une fonction continue.
  • Théorème de Weierstrass : image d'un intervalle compact par une fonction continue.
  • Théorème de Heine : uniforme continuité des fonctions continues sur un intervalle compact.
  • Théorème de Cauchy : intégrabilité des fonctions continues sur un intervalle compact.
 Analyse II-IV
29/03-02/04
  • Caractérisation séquentielle de la continuité
  • Convergence simultanée de deux suites équivalentes
  • Compatibilité au produit et à la division de l'équivalence
  • Pour $f$ dérivable en $0$ telle que $f'(0)\ne0$, $\lim a_n=0\Rightarrow (f(a_n)-f(0))\sim f'(0)a_n$ (énoncé, sans démonstration) et application à $\displaystyle\frac{\left(e^{2/\sqrt{n}}-1\right)^2}{\ln\left(1+\frac1{n^3}\right)\left((n+1)^3-n^3\right)}$.
 Analyse II-III
22/03-26/03
  • Théorème d'encadrement des limites, théorème de convergence monotone
  • Compatibilité de la limite à la structure d'espace vectoriel et de corps
  • Théorème de Bolzano-Weierstrass
  • Théorème des suites adjacentes
  • Existence et unicité de la racine $n$-ème d'un réel strictement positif
 Analyse II
15/03-19/03
  • Existence de la partie entière et densité des rationnels
  • Description des convexes de $\mathbb R$.
  • Critères de convergence et de divergence via des suites extraites (cas des termes pairs et impairs pour la convergence, cas général pour la divergence).
  • Toute suite convergente est bornée (et contraposée)
  • ($|a_n-\ell|\le b_n$ et $\lim b_n=0$) $\Rightarrow a_n\to\ell$) et ($a_n\to\ell\Rightarrow|a_n|\to|\ell|$).
 Analyse II
08/03-12/03
  • Décomposition primaire sur $\mathbb K[X]$ (démonstration), sur $\mathbb C[X]$ (énoncé)
  • Racines d'un polynôme : définition de la multiplicité, caractérisation par $P(x)=P'(x)=\ldots=P^{(k-1)}(x)=0$ et $P(X)=(X-x)^kQ(X)$.
  • Pour $A\in\mathbb R[X]$, $\alpha$ est racine d'ordre $k$ si et seulement si $\bar{\alpha}$ aussi. Décomposition de $X^n-1$ sur $\mathbb C[X]$ et $\mathbb R[X]$.
  • Relations coefficients racines : définition des fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$. Étude d'un exemple de fonctions symétrique et calcul de son expression comme polynôme en les $\sigma_i$ (théorème de Newton).
 Algèbre I-V
01/03-05/03
  • Degré d'un produit de polynômes. Intégrité de $\mathbb K[X]$
  • Degré et valuation d'une somme de polynômes, cas d'égalité.
  • Existence de la division euclidienne dans $\mathbb K[X]$, définition d'un PGCD
  • Algorithme d'Euclide dans $\mathbb K[X]$. Relation $A\mathbb K[X]+B\mathbb K[X]=(A\wedge B)\mathbb K[X]$
  • Formule de Taylor pour les polynômes
  • Formule de Leibniz pour la dérivation d'un produit de polynômes
 Algèbre I-V
08/02-12/02
  • Existence et unicité de la division euclidienne
  • Relation de Bézout et lemme de Gauss
  • Résolution de l'équation diophantienne $ax+by=c$
  • Théorème fondamental de l'arithmétique
  • $a\mathbb Z\cap b\mathbb Z=(a\vee b)\mathbb Z$
 Algèbre I-IV
01/02-05/02
  • Décomposition d'une permutation en produit de transposition (démonstration) et définition de la signature.
  • Définition du déterminant canonique, du déterminant d'une matrice. Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant (démonstration).
  • Le déterminant est un morphisme de groupes entre $GL_n(\mathbb K)$ et $\mathbb K^\star$ (démonstration).
  • Caractérisation du rang d'une matrice : par ses mineurs (énoncé) et par sa classe de congruence (démonstration), i.e. $A=Q^{-1}I_{r,n}P$ avec $I_{r,n}$ la matrice carrée d'ordre $n$ constituée de $I_r$ bordée de 0.
 Algèbre I-IV
25/01-29/01 Pas de colle en raison du voyage scolaire  
18/01-22/01
  • Formule de Hermann Günther Grassmann, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité dans le cas des espaces de même dimension finie.
  • Changement de base.
  • Isomorphisme d'espaces vectoriels entre ${\cal L}(E,F)$ et ${\cal M}_{p,q}(\mathbb K)$
  • Isomorphisme d'espaces vectoriels entre $E'$ et $Im(u)$, si $E'$ est un supplémentaire de $\mathrm{Ker}(u)$
  • Rang d'une famille de vecteurs : nombre de pivots obtenus par la méthode de Gauss.
 Algèbre I-IV
11/01-15/01
  • Applications linéaires : caractérisation des applications injectives, construction d'une application par image d'une base.
  • Théorème du rang
  • Formule de Hermann Günther Grassmann, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité dans le cas des espaces de même dimension finie.
  • Matrice d'une application linéaire, interprétation du produit matriciel, application aux lois d'addition des fonctions trigonométriques.
  • Changement de base.
 Algèbre I-III
04/01-08/01
  • Espaces vectoriels : définition des notions d'espace vectoriel, de sous-espace vectoriel. Intersection de deux sous-espaces vectoriels.
  • Espaces vectoriels : définition des notions de somme et somme directe, démonstration du fait que l'espace engendré par la réunion de deux sous-espaces vectoriels est leur somme.
  • Propriété fondamentale ($n+1$ vecteurs qui sont combinaisons linéaires de $n$ vecteurs forment une famille liée).
  • Bases : définition, démonstration du fait que c'est une famille libre maximale.
  • Bases : définition, démonstration du fait que c'est une famille génératrice minimale.
 Algèbre I-II
14/12-18/12
  • Pivot de Gauss : définition et inversibilité des matrices de transvection, de dilatation et de permutation, équivalence des systèmes linéaires représentés par deux matrices dont l'une est obtenue à partir de l'autre par des opérations élémentaires (énoncé et démonstration).
  • Pivot de Gauss : espace des solutions d'un système linéaire représenté par une matrice échelonnée (énoncé et démonstration).
  • Espaces vectoriels : définition des notions d'espace vectoriel, de sous-espace vectoriel. Intersection de deux sous-espaces vectoriels.
  • Espaces vectoriels : définition des notions de somme et somme directe, démonstration du fait que l'espace engendré par la réunion de deux sous-espaces vectoriels est leur somme.
 Algèbre I
07/12-11/12
  • Méthode d'Euler pour une équation ${\cal L}(y)=f$ avec ${\cal L}_1(f)=0$ (opérateurs linéaires à coefficients constants) : énoncé pour un ordre quelconque dans le cas où $P_{\cal L}$ et $P_{{\cal L}_1}$ n'ont pas de racines en commun, démonstration dans le cas où les deux opérateurs sont d'ordre 1, interprétation vectorielle.
  • Méthode d'Euler : étude du cas de résonance : $y"+y=\sin(x)$. Commentaire sur l'amplitude des solutions de $y"+y=\sin(\omega x)$ pour $0,5\leq\omega\leq1,5$.
  • Méthode de Lagrange (variation de la constante) pour les équations différentielles linéaires non nécessairement à coefficients constants : énoncé pour un ordre quelconque, démonstrations dans le cas de l'ordre 2 en langage vectoriel.
  • Exemple : $y"+2ay'+by=f$ avec $a^2\lt b$. Obtention de la formule $y(x)=\frac1\beta\int_{x_0}^xe^{\alpha(x-t)}\sin(\beta(x-t))(t)dt$ par la méthode de Lagrange (variation de la constante).
  • Résolution numérique et graphique : méthode d'Euler (énoncé et interprétation graphique), champs de vecteur (dessin dans le cas $y'=y$).
 Analyse I
30/11-04/12
  • Équation linéaire homogène du premier ordre $y'=f(x)y$ et résolution de l'équation non-homogène par la méthode de Bernoulli (variation de la constante).
  • Équation linéaire homogène du premier ordre $y'=f(x)y$ et équation de Bernoulli $y'=f(x)y+g(x)y^n$ (une des deux méthodes de Johann Bernoulli au choix)
  • Exemple du pendule $y"+\sin(y)=0$. Intégrale elliptique pour la période du pendule $\displaystyle T=\int_0^{y_0}\frac{2\sqrt2dy}{\sqrt{\cos(y)-\cos(y_0)}}$.
  • Théorème d'Euler pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants ${\cal L}(y)=0$ (énoncé). Démonstration de la propriété de commutation des opérateurs différentiels linéaires d'ordre 1 : $D_\lambda\circ D_\mu=D_\mu\circ D_\lambda={\cal L}$ avec $P_{\cal L}(X)=(X-\lambda)(X-\mu)$.
  • Théorème d'Euler pour une équation différentielle linéaire à coefficients constants ${\cal L}(y)=0$ (énoncé). Étude de l'équation différentielle $D_\lambda\circ\cdots\circ D_\lambda(y)=0$.
  • Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants : cas de racines distinctes (complexes) pour l'équation caractéristique. Méthode de résolution.
  • Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants : cas de racines doubles pour l'équation caractéristique. Méthode de résolution.
 Analyse I
23/11-27/11 Classe fermée par le préfet pour cause de grippe.  
16/11-20/11
  • Tangentes à une conique : équation cartésienne par polarisation, équation en coordonnées polaires.
  • Projection d'un cercle sur un plan.
  • Développée d'une courbe $y=f(x)$ et courbure.
  • Formule de Taylor avec reste intégral (aucune difficulté n'est à soulever sur l'intégrabilité).
  • Exemples de changements de variable : $\int e^{5x+2}dx$, $\int xe^{-x^2}dx$, $\displaystyle\int\frac{dx}{7+x^2}$, $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+x+1}$, $\displaystyle\int\frac{x+2}{x^2+x+1}dx$ (en choisir trois).
  • Exemples d'intégration par partie : $\int x^2e^xdx$, $\int\ln(x)dx$, $\int\arctan(x)dx$, $\int\sqrt{1+4x^2}dx$, relation de récurrence pour $I_n=\int \sin^n(x)dx$, relation de récurrence pour $\displaystyle J_n=\int\frac{dx}{(1+x^2)^n}$ (en choisir trois).
 Chapitre 9
05/11-13/11
  • Équation polaire d'une conique dont le foyer est à l'origine.
  • Définition par foyer et directrice et équation réduite de la parabole.
  • Définition par foyer et directrice et équation réduite de l'hyperbole.
  • Définition par foyer et directrice et équation réduite de l'ellipse.
  • Lignes de niveau de l'application $M\mapsto MF+MF'$.
  • Lignes de niveau de l'application $M\mapsto |MF-MF'|$.
  • Tangentes : équation cartésienne par polarisation, équation en coordonnées polaires.
 Chapitre 8
19/10-23/10
  • Produit scalaire : définition par polarisation, formules $u.v=\dfrac14(||u+v||^2+||u-v||^2)$, $u.v=\dfrac12(||u+v||^2-||u||^2-||v||^2)$
  • Définition d'un angle non orienté de vecteur, formule $u.v=||u||.||v||.\cos(u,v)$ et inégalité de Cauchy-Schwarz.
  • Définition du produit vectoriel, complétion d'un repère orthonormé, caractérisation des vecteurs colinéaires par le produit vectoriel.
  • Application $\vec{u}\mapsto\vec{w}\wedge\vec{u}$ dans un plan perpendiculaire à $\vec{w}$ et formule $\vec{u}\wedge\vec{w}=\vec{u'}\wedge\vec{w}$ si $\vec{u'}$ est la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur le plan perpendiculaire à $\vec{w}$ (pour $\vec{w}\neq\vec{0}$).
  • En admettant la bilinéarité du produit vectoriel, formule $\displaystyle (x,y,z)\wedge(x',y',z')=\left(\left|\begin{array}{cc}y&y'\\z&z'\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}z&z'\\x&x'\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}x&x'\\y&y'\end{array}\right|\right)$.
  • Définition du produit mixte ou déterminant, formules pour l'échange de deux termes ou la permutation circulaire des trois termes, développement par rapport à la troisième colonne, règle de Pierre-Frédéric Sarrus.
  • Équations de plan (paramétriques, cartésienne et normale), obtention par l'écriture $\vec{AM}\in Vect(\vec{u},\vec{v})$, $\vec{AM}.(\vec{u}\wedge\vec{v})=0$, $\vec{AM}.\vec{n}=0$ ou encore $\det(\vec{AM},\vec{u},\vec{v})=0$, et application au calcul de distance d'un point à un plan.
  • Équations de droite (paramétriques et cartésiennes), coordonnées de Plücker, obtention à partir de $\vec{AM}\in Vect(\vec{u})$, $\vec{AM}\wedge\vec{u}=\vec{0}$ et $(\vec{AM}\wedge\vec{u}).\vec{u}=0$.
 Chapitre 8
12/10-16/10
  • Expressions du déterminant en coordonnées cartésiennes, polaires et en complexe. Passage des uns aux autres.
  • Expressions du produit scalaire en coordonnées cartésiennes, polaires et en complexe. Passage des uns aux autres.
  • Formules de changement de repère orthonormé (dans un sens et dans l'autre) et démonstrations.
  • Distance d'un point à une droite : formules avec le déterminant et via une équation cartésienne, démonstrations.
  • Intersection de deux cercles : condition, axe radical, démonstrations.
 Chapitre 7
05/10-09/10
  • Similitudes directes : écriture complexe et démonstration des propriétés - si $z'=az+b$ et si $z_0$ est le centre de similitude, $z'-z_0$ est obtenu par homothétie et rotation de $z-z_0$, préservation des angles et des rapports de distances.
  • Groupe $\mathbb U_n$, relation $\sum_{\zeta\in\mathbb U_n}\zeta=0$, lien avec les polygones réguliers.
  • Calcul de racines carrées (forme exponentielle et algébrique, exemple).
  • Résolution d'une équation du second degré complexe et factorisation. Relations coefficients-racines.
  • Principe de linéarisation (la démonstration générale n'est pas exigible mais son principe, oui).
  • Équation d'un cercle en complexes, lignes de niveau $|z|^2+Re(bz)+\lambda=0$ (énoncé et démonstration).
  • Lignes de niveau $\displaystyle\frac{|z-a|}{|z-b|}=\lambda$ (énoncé et démonstration).
  • Théorème de l'angle au centre en complexes (énoncé et démonstration). Lignes de niveau : $\displaystyle Arg\left(\frac{z-b}{z-a}\right)=\lambda$ (énoncé).
 Chapitre 6 en entier
28/09-02/10
  • Inégalité triangulaire (encadrement) : formule et démonstration.
  • Forme trigonométrique : définition et existence de la représentation, étude de l'ensemble des représentations.
  • Formule de De Moivre : démonstration par récurrence à partir de la formule d'Euler $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.
  • Racines $n$-ième d’un nombre complexe : écriture des formes trigonométriques et obtention des $n$ racines dans le cas $z\neq0$.
  • Paramétrisations du cercle (trigonométrique et rationnelle) : formules, obtention de la paramétrisation rationnelle.
  • Formule de la paramétrisation rationnelle. Application aux formules trigonométriques à partir de la tangente de l'angle moitié (énoncé et démonstration).
  • Dictionnaire géométrique pour les transformations (translations, symétries ponctuelles, homothéties, rotations) : formules et démonstrations.
 Chapitre 6
21/09-25/09
  • Construction de l'exponentielle par \(\exp(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)\) avec \(f_n(x)=\left(1+\frac{x}x\right)^n\) : 1. convergence monotone sur \([0;1]\), 2. lemme \(f_n(\alpha_n)\to1\) dès que \(\alpha_n\to0\) et extension à \(-x\) et à \(x+y\) grâce à \(f_n(-x)=f_n(-x^2/n)/f_n(x)\) et \(f_n(x+y)=f_n(xy/(n+x+y))/f_n(x)f_n(y)\).
  • Démonstration de \(\exp(x)=e^x\) avec \(e=\lim_n(1+1/n)^n\), à partir de \(f_n\) et de l'inégalité de la moyenne pour \(1/t\).
  • Énoncé de la formule de Ptolémée \(\sin(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\gamma)\sin(\delta)=\sin(\alpha+\gamma)+\sin(\beta+\gamma)\), pour \(\alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi\). Obtention à partir du théorème de Ptolémée sur les quadrilatères inscriptibles (admis) et dérivation des formules de Regiomontanus (formules d'addition pour sinus, cosinus et tangente) : \(\sin(x+y)\), \(\cos(x+y)\) et \(\tan(x+y)\).
  • Démonstration des formules pour \(\sin(x)+\sin(y)\), \(\cos(x)+\cos(y)\) et \(\cos(x)-\cos(y)\)
  • Formules de De Moivre $$\sin(nx)={n\choose1}\sin(x)\cos^{n-1}(x)-{n\choose3}\sin^3(x)\cos^{n-3}(x)+\cdots$$ $$\cos(nx)={n\choose0}\cos^n(x)-{n\choose2}\sin^2(x)\cos^{n-2}(x)+\cdots.$$
  • Calcul de la dérivée de \(u(x)^{v(x)}\).
  • Limites en 0 et \(\pm\infty\) d'expressions polynomiales en \(x\), \(\ln(x)\) et \(exp(x)\).
  • Étude des fonctions hyperboliques et réciproques : dérivées (énoncé et démonstration), croissance (énoncé et démonstration), convexité (énoncé), expression par des logarithmes (énoncé et démonstration).
 Chapitres 4 et 5
14/09-18/09 Rudiments de logique : assertions, prédicats, quantificateurs, connecteurs, tables de vérité, modes de démonstration - Triangle de Pascal et formule du binôme. Chapitres 1 à 4